Wurzel einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mo 20.09.2010 | | Autor: | migudent |
| Aufgabe | Erstellen Sie ein Beispiel für eine homogene Markovkette mit drei Zuständen, die folgende 2-Schritt-Übergangsmatrix besitzt:
[mm] $M=\pmat{0.5&0.5&0\\0&0.5&0.5\\1&0&0}$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe schon versucht, die einzelnen vorgegebenen Summen der Matrizenmultiplikation durch die Variablenprodukte auszudrücken, und durch Ausprobieren und Ausschlussprinzip die Lösung:
[mm] $M=\pmat{0&0.5&0.5\\1&0&0\\0&1&0}$
[/mm]
herausbekommen.
In einer Klausur ist das aber, so denke ich, ein recht mühsamer und zeitraubender Weg, gibt es da auch einen eleganten?
LG
migudent
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
elegant ja, schnell nein:
Diagonalisieren.
Vorteil: nach dem Diagonalisieren ist das Wurzelziehen kinderleicht.
Nachteil: das ist es, *nach dem Diagonalisieren*. =)
ciao
Stefan
EDIT: Sorry, wollte auf halbbeantwortet setzen, hab's aber vergessen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mo 20.09.2010 | | Autor: | migudent |
@blech
Danke für deine Antwort.
Das mit dem diagonalisieren funktioniert wie?
Meine Matrix ist ja keine Diagonalmatrix, deswegen habe ich da nicht weitergesucht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Das mit dem diagonalisieren funktioniert wie?
Solltest Du das nicht aus linearer Algebra kennen?
[mm] $M=SDS^{-1}=S\pmat{\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3}S^{-1},$
[/mm]
wobei D eine Diagonalmatrix ist, mit den Eigenwerten von M als Diagonaleinträgen und S ist die Matrix mit den zugehörigen Eigenvektoren als Spalten.
[mm] $\sqrt{M}=S\sqrt{D}S^{-1}=S\pmat{\sqrt{\lambda_1}&0&0\\0&\sqrt{\lambda_2}&0\\0&0&\sqrt{\lambda_3}}S^{-1}$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mo 20.09.2010 | | Autor: | migudent |
Ich habe dummerweise Stochastik II vor Analysis (Integralrechnung) und linearer Algebra gemacht!!
Aber mich da jetzt noch reinzuarbeiten ist zu viel! Das wird dann meine Streichaufgabe.
Trotzdem vielen Dank für deine Mühe!
LG
migudent
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