Wurzel einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:40 Do 28.05.2009 | | Autor: | tux23 |
| Aufgabe |
Sei die folgende Matrix A in [mm] GL_3(R) [/mm] gegeben:
[mm] A=\pmat{ 1 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1}
[/mm]
Bestimmen Sie eine Matrix B, so dass gilt B²=A.
Vorsicht hoher Rechenaufwand! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Matrix A einfach in Diagonalform gebarcht und dann von den Diagonaleinträgen die Wurzel gezogen.
Kann man dass so machen? (Der Rechenaufwand war nämlich nicht groß!)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 Do 28.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Klar kann man das so machen... wenn du die Matrix B mit [mm] B^2=A [/mm] schon hast, dann versteh ich aber die Frage nicht.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:39 Do 28.05.2009 | | Autor: | tux23 |
das Problem bei diesem Lösungsweg ist, dass ich ein B erhalte, was mit sich selbst multipliziert wieder das A in Diagonalform ergibt.
Möchte man aber ein B, mit B²=A so dass das A dem nicht umgeformten A aus der Aufgabenstellung entspricht, wird das ganze wirklich umständlich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:51 Do 28.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Dass die Wurzel des Diagonalisierten A i.A. nicht die Wurzel von A ist, ist ja klar, denn du hast ja einen Basiswechsel vorgenommen:
Beim Diagonalisieren von A bestimmst du eine Transformationsmatrix [mm] $T\in GL(3,\IR)$ [/mm] mit [mm] $A=TDT^{-1}$ [/mm] wobei [mm] $D=\operatorname{diag}(a,b,c)$ [/mm] eine Diagonalmatrix ist. Sofern [mm] $a,b,c\ge [/mm] 0$ sind (ansonst besitzt A gar keine Wurzel!), kannst du nun eine Wurzel von D sofort hinschreiben: [mm] $\sqrt{D}:=\operatorname{diag}(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$. [/mm] Setzt du nun [mm] $B:=T\sqrt{D}T^{-1}$, [/mm] dann gilt [mm] $B^2=T\sqrt{D}T^{-1}T\sqrt{D}T^{-1}=TDT^{-1}=A$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Do 28.05.2009 | | Autor: | tux23 |
mh danke für die schnellen Antworten. Es scheint mir auch logisch, dass so zu machen. Leider habe ich bis jetzt noch nicht das gewünschte Ergebnis bekommen.
Ich vermute, dass du mit [mm] T^{-1} [/mm] die invertierte Matrix von T meinst.
Hier meine bisherige Lösung:
[mm] diag(A):\pmat{1 & 0 & 0\\0 & 3/4 & 0\\ 0 & 0 & 2/3}
[/mm]
Die TRansformationsmatrix erhalte ich, wenn ich beim Durchführen des Gaußalgorithmus auf der rechten Seite zusätzlich eine Matrix mit Wert 1 in allen Diagonaleinträgen hinschreibe und alle Spalten und Zeilenoperationen die ich auf der linken Seite mit A durchführe auch mit der rechten Matrix durchführe.
Die Transformationsmatrix T: [mm] \pmat{1 & 1/2 & -1/3 \\ -1/2 & 3/4 & 1/2 \\ -1/12 & 1/4 & 4/3}
[/mm]
Für B mit [mm] B=T*\wurzel{D}*T^{-1} [/mm] erhalte ich:
[mm] $$\pmat{\frac{15\,\sqrt{3}}{116}+\frac{\sqrt{2}}{58\,\sqrt{3}}+\frac{21}{29} & \frac{47\,\sqrt{3}}{174}+\frac{7\,\sqrt{2}}{87\,\sqrt{3}}-\frac{18}{29} & -\frac{2\,\sqrt{3}}{29}-\frac{8\,\sqrt{2}}{29\,\sqrt{3}}+\frac{12}{29}\cr \frac{45\,\sqrt{3}}{232}-\frac{3\,\sqrt{2}}{116\,\sqrt{3}}-\frac{21}{58} & \frac{47\,\sqrt{3}}{116}-\frac{7\,\sqrt{2}}{58\,\sqrt{3}}+\frac{9}{29} & -\frac{3\,\sqrt{3}}{29}+\frac{12\,\sqrt{2}}{29\,\sqrt{3}}-\frac{6}{29}\cr \frac{15\,\sqrt{3}}{232}-\frac{2\,\sqrt{2}}{29\,\sqrt{3}}-\frac{7}{116} & \frac{47\,\sqrt{3}}{348}-\frac{28\,\sqrt{2}}{87\,\sqrt{3}}+\frac{3}{58} & -\frac{\sqrt{3}}{29}+\frac{32\,\sqrt{2}}{29\,\sqrt{3}}-\frac{1}{29}}$$
[/mm]
Wenn ich diese Matrix aber mit sich selbst multipliziere erhalte ich nicht A. Siehst du vielleicht den Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Do 28.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Ich vermute, dass du mit [mm]T^{-1}[/mm] die invertierte Matrix von T meinst.
Ja klar.
> Die TRansformationsmatrix erhalte ich, wenn ich beim
> Durchführen des Gaußalgorithmus auf der rechten Seite
> zusätzlich eine Matrix mit Wert 1 in allen
> Diagonaleinträgen hinschreibe und alle Spalten und
> Zeilenoperationen die ich auf der linken Seite mit A
> durchführe auch mit der rechten Matrix durchführe.
Nein, damit erhälst du die Matrix T mit $TA=diag(A)$. Der Gauß-Algorithmus nützt dir gar nix.
Wie gesagt, was wir brauchen ist ein T sodass [mm] TAT^{-1} [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Dazu musst du eine Basis aus Eigenvektoren finden. Kann es sein dass du A nicht richtig abgeschrieben hast?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Fr 29.05.2009 | | Autor: | tux23 |
ja tut mir leid, in der letzten Zeile habe ich die 1 mit der 0 vertauscht, habe es jetzt korrigiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Fr 29.05.2009 | | Autor: | tux23 |
Ich habe bis jetzt keine Möglichkeit gefunden, wie man eine Transformationsmatrix berechnet.
Muss man dazu irgendwie die Eigenvektoren der Matrix berechnen?
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> Ich habe bis jetzt keine Möglichkeit gefunden, wie man eine
> Transformationsmatrix berechnet.
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> Muss man dazu irgendwie die Eigenvektoren der Matrix
> berechnen?
Hallo,
ja, genau. Du brauchst Eigenwerte und Eigenvektoren.
Danach kann man weitersehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Fr 29.05.2009 | | Autor: | tux23 |
Hier meine bisherigen Ergebnisse:
(laut Wiki soll man so vorgehen: [mm] A^{1/2}=TD^{1/2}T^{-1}, [/mm] wobei T eine Matrix mit den Eigenvektoren als Spalten ist und D eine Matrix, die die Eigenwerte von A als Diagonaleinträge enthält.)
Eigenvektoren e und zugehörige Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] von A:
[mm] e_1= (\sqrt{2},-1,-1),\lambda_1=-(\sqrt{2}-2)/2
[/mm]
[mm] e_2= (\sqrt{2},1,1),\lambda_2=(\sqrt{2}+2)/2
[/mm]
[mm] e_3= (0,1,-1),\lambda_3=1
[/mm]
D.h.: [mm] T=\pmat{\sqrt{2}&\sqrt{2}&0\\-1&1&1\\-1&1&-1}
[/mm]
und [mm] \sqrt{D}=\pmat{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}&0&0\\0&\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}&0\\0&0&1}
[/mm]
Bis jetzt ist mir aber noch nicht gelungen, eine Wurzel zu berechnen, die mit sich selbst multipliziert wieder A ergibt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Fr 29.05.2009 | | Autor: | jini_9791 |
ich denke du hast einen fehler bei den eigenwerten, schreibe doch bitte mal das charakteristische polynom auf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:31 Sa 30.05.2009 | | Autor: | tux23 |
[mm] det(A-\lambda*E)=0 [/mm]
ergibt
[mm] (1-\lambda)^3-1/2*(1-\lambda)=0 [/mm] für
[mm] \lambda_1=-(\sqrt{2}-2)/2, \lambda_2=(\sqrt{2}+2)/2 [/mm] und [mm] \lambda_3=1[/mm]
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> Hier meine bisherigen Ergebnisse:
>
> (laut Wiki soll man so vorgehen: [mm]A^{1/2}=TD^{1/2}T^{-1},[/mm]
> wobei T eine Matrix mit den Eigenvektoren als Spalten ist
> und D eine Matrix, die die Eigenwerte von A als
> Diagonaleinträge enthält.)
>
> Eigenvektoren von A:
>
> [mm]e_1= (1,-(\sqrt{2}/2),-(\sqrt{2}/2))[/mm]
> [mm]e_2= (1,\sqrt{2},\sqrt{2}/2)[/mm]
>
> [mm]e_3=[/mm] (0,1,-1)
>
> D.h: [mm]\pmat{1 & 1 & 0\cr -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1\cr -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -1}[/mm]
>
> Eigenwerte von A:
> [mm]\lambda_1=(1,1,1)[/mm]
> [mm]\lambda_2=(-(\sqrt{2}-2)/2,(\sqrt{2}+2)/2,1)[/mm]
>
> also [mm]\sqrt{D}:\pmat{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\ 0 & \frac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{\sqrt{2}} & 0\\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Bis jetzt ist mir aber noch nicht gelungen, eine Wurzel zu
> berechnen, die mit sich selbst multipliziert wieder A
> ergibt
Hallo,
abgesehen davon, daß Du Aufschreibe immer so machen solltest, daß man auf einen Blick die Eigenwerte sieht , und dann irgendwie deutlich wird, welcher EV zu welchem EW gehört, sieht das gar nicht so übel aus.
Deine Eigenwerte sind richtig, im Eoigenvektor [mm] e_2 [/mm] steckt ein Fehler in der 2. Komponente.
Tip: multipliziere Deine Basisvektoren so, daß Du möglichst wenige Wurzeln hast, das ist beim Weiterrechnen angenehmer.
Von ersten kannst Du beispielweise das [mm] \wurzel{2}-fache [/mm] nehmen
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Di 02.06.2009 | | Autor: | tux23 |
Ok ich habe deine Hinweise berücksichtigt und in den von dir zitierten Thread eingetragen, die Gleichnug:
[mm] \sqrt{A}=T*\sqrt{D}*T^{-1}
[/mm]
führt aber immer noch nicht zum gewünschten Erfolg. Woran kann es jetzt noch liegen?
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> Ok ich habe deine Hinweise berücksichtigt und in den von
> dir zitierten Thread eingetragen, die Gleichnug:
>
> [mm]A=T*\sqrt{D}*T^{-1}[/mm]
>
> führt aber immer noch nicht zum gewünschten Erfolg. Woran
> kann es jetzt noch liegen?
Hallo,
es soll dioch auch nicht [mm] A=T*\sqrt{D}*T^{-1} [/mm] sein, sondern es soll sein
[mm] (T*\sqrt{D}*T^{-1})*(T*\sqrt{D}*T^{-1}=A.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:11 Mi 03.06.2009 | | Autor: | tux23 |
Ja , tut mir leid, ich meinte auch
[mm] A^{1/2}=T*\sqrt{D}*t^{-1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Mi 03.06.2009 | | Autor: | tux23 |
Ok ich habe die Lösung:
für [mm] B=\sqrt{A}=T.\sqrt{D}.T^{-1} [/mm] erhält man:
[mm] B=\pmat{\frac{\sqrt{2}\,\sqrt{\sqrt{2}+2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}\,\sqrt{2}}{4} & -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}-\sqrt{\sqrt{2}+2}}{4} & -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}-\sqrt{\sqrt{2}+2}}{4}\cr -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}-\sqrt{\sqrt{2}+2}}{4} & \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{\sqrt{2}+2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}\,\sqrt{2}+4}{8} & \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{\sqrt{2}+2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}\,\sqrt{2}-4}{8}\cr -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}-\sqrt{\sqrt{2}+2}}{4} & \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{\sqrt{2}+2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}\,\sqrt{2}-4}{8} & \frac{\sqrt{2}\,\sqrt{\sqrt{2}+2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}\,\sqrt{2}+4}{8}}
[/mm]
Wenn man nun B*B rechnet, erhält man einen furchtbar großen Term, der sich aber zu A vereinfachen lässt.
Die A4 Seiten füllenden Matrizen hatten mich abgeschreckt.
Vielen lieben Dank für eure Tipps und Ratschläge!
Grüße, Malte
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