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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | für [mm] $x_0 \geq [/mm] 0$ sei die Folge [mm] $(a_n)_{n\in \mathbb N} \subseteq \mathbb [/mm] R$ rekursiv definiert durch
[mm] $a_{n+1}:=\frac{1}{2}\left(a_n + \frac{x_0}{a_n}\right), n\in \mathbb [/mm] N$,
wobei [mm] $a_1 [/mm] > [mm] \sqrt{x_0} [/mm] fest vorgegeben sei. Zeigen Sie.
a) Für alle $n [mm] \in \mathbb [/mm] N$ ist [mm] $a_n [/mm] > [mm] \sqrt{x_0}$
[/mm]
b) [mm] $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ [/mm] ist monoton fallend und nach unten beschränkt
c) [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n [/mm] = [mm] \sqrt{x_0}$ [/mm] |
Ich hab dieses babylonische Wurzelziehen leider noch nie gemacht. Könnt ihr mir ein bisschen auf die Sprünge helfen?
Was muss ich z.B. bei der a) machen? Natürlich kann ich jetzt ein quadrat Zahl hiermit annähernd berechnen, aber ich soll ja bei a) zeigen, dass es für ALLE [mm] $n\in \mathbb [/mm] N$ gilt. Irgendwie verstehe ich das so nicht wirklich was ich da dann machen soll!
Danke!
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Hallo bandchef,
> für [mm]x_0 \geq 0[/mm] sei die Folge [mm](a_n)_{n\in \mathbb N} \subseteq \mathbb R[/mm]
> rekursiv definiert durch
>
> [mm]a_{n+1}:=\frac{1}{2}\left(a_n + \frac{x_0}{a_n}\right), n\in \mathbb N[/mm],
>
> wobei [mm]$a_1[/mm] > [mm]\sqrt{x_0}[/mm] fest vorgegeben sei. Zeigen Sie.
>
> a) Für alle [mm]n \in \mathbb N[/mm] ist [mm]a_n > \sqrt{x_0}[/mm]
>
> b) [mm](a_n)_{n\in \mathbb N}[/mm] ist monoton fallend und nach
> unten beschränkt
>
> c) [mm]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \sqrt{x_0}[/mm]
>
> Ich hab dieses babylonische Wurzelziehen leider noch nie
> gemacht. Könnt ihr mir ein bisschen auf die Sprünge
> helfen?
>
> Was muss ich z.B. bei der a) machen? Natürlich kann ich
> jetzt ein quadrat Zahl hiermit annähernd berechnen, aber
> ich soll ja bei a) zeigen, dass es für ALLE [mm]n\in \mathbb N[/mm]
> gilt. Irgendwie verstehe ich das so nicht wirklich was ich
> da dann machen soll!
Nun, es soll in dieser Aufgabe die Konvergenz der rekursiven Folge gezeigt werden.
Es gilt, dass eine (streng) monoton fallende, nach unten beschränkte Folge konvergent ist.
Das soll man hier peu á peu zeigen.
Zunächst sollst du in a) zeigen, dass [mm] $\sqrt{x_0}$ [/mm] eine untere Schranke für die Folgenglieder ist.
Dazu kannst du eine vollst. Induktion machen.
In b) sollst du die Monotonie zeigen.
Damit weißt du, dass die Folge konvergent ist.
In c) sollst du dann schlussendlich zeigen, dass [mm] $\sqrt{x_0}$ [/mm] der Grenzwert der Folge ist.
Dazu ist es hilfreich, den GW mal mit $a$ zu bezeichnen.
Dann gilt [mm] $a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$
[/mm]
Setze das in die Rekursionsvorschrift ein, um den GW zu bestimmen.
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>
> Danke! +
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
zu a)
über welche Funktion soll ich die vollständige Induktion machen? Über $ [mm] a_{n+1}:=\frac{1}{2}\left(a_n + \frac{x_0}{a_n}\right)$?
[/mm]
zu c)
Was ist ein "GW"?
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Hallo nochmal,
> zu a)
>
> über welche Funktion soll ich die vollständige Induktion
> machen? Über [mm]a_{n+1}:=\frac{1}{2}\left(a_n + \frac{x_0}{a_n}\right)[/mm]?
Brrr. Die Aussage in a) ist per v.I. zu zeigen!
>
>
>
> zu c)
>
> Was ist ein "GW"?
Bei solchen Fragen stehen mir die Haare zu Berge
Was könnte GW wohl im Zusammenhang mit Aufgabe c) bedeuten, wo nach dem GrenzWert gefragt ist???
Hmm, Orakel ...
Ich weiß es nicht - Telefonjoker?
Oder Publikum fragen?
Mensch Meier
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
IA) n=1:
Was muss ich dann für [mm] $x_0$ [/mm] und was muss ich für [mm] a_n [/mm] setzen?
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Hallo nochmal,
> IA) n=1:
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> Was muss ich dann für [mm]x_0[/mm] und was muss ich für [mm]a_n[/mm]
> setzen?
Für [mm] $x_0$ [/mm] kannst du nix einsetzen, das ist ein (zwar bel., aber) fester Wert [mm] $\ge [/mm] 0$
Du willst doch zeigen, dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $a_n [/mm] \ > \ [mm] \sqrt{x_0}$
[/mm]
Für $n=1$ lautet die Aussage wie?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mo 28.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Für n=1 gilt:
Vorher noch eine Frage: Wo muss ich das n einsetzen? In die rekursive definierte Folge, schon klar, aber wo in dieser Folge? Ich hoffe ich bring dich nicht bis zur Weißglut aber, ich weiß da echt nix und mein Skript gibt da nicht wirklich was her keine Übungsaufgaben usw. und sich sowas dann aus den Fingern saugen ist schon schwer...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Mo 28.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
> Vorher noch eine Frage: Wo muss ich das n einsetzen? In die
> rekursive definierte Folge, schon klar, aber wo in dieser Folge?
Überall, wo ein $n_$ auftaucht!
Und das lautet hier ganz simpel:
[mm] $a_{\red{1}} [/mm] \ > \ [mm] \wurzel{x_0}$
[/mm]
Diese Ungleichung ist (selbstverständlich) korrekt, da dies eine der Voraussetzungen gemäß Aufgabenstellung ist.
Nun also an den Induktionsschritt.
Gruß
Loddar
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