Würfelproblem < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | | Sanguinetti besitzt einen gezinkten Würfel, bei welchem die Augenzahl 6 mit der Wahrscheinlichkeit 1:4 , die Augenzahl 1 mit der Wahrscheinlichkeit 1:12 erscheint. Die übrigen Augenzahlen haben gleiche Wahrscheinlichkeit ( je 1:6 ). a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander die gleiche Zahl zu würfeln. b) Corleone hat in zwei Würfen total 5 Augen geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 dabei war ? c) Wie oft muss Vanzetti würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit p ≥ 0,995 mindestens einmal eine 6 zu würfeln ? |
Ich habe hier einen Ereignisbaum gezeihnet, dadurch kenne ich jetzt die Wahrscheinlichkeit z.b. hintereinander eine 6, 5 etc zu Würfeln. Doch wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit überhaupt 3mal hintereinander die Gleiche Zahl zu würfeln?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Mi 17.06.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
Das Ereignis,
nennen wir es A,
dreimal hintereinander dieselbe Zahl zu werfen,
besteht aus den Ergebnissen
e1: dreimal hintereinander wird die eins gewürfelt,
e2: dreimal hintereinander wird die zwei gewürfelt,
e3: dreimal hintereinander wird die drei gewürfelt,
und so weiter bis zu
e6: dreimal hintereinander wird die sechs gewürfelt;
etwas formaler hinheschrieben
A = { e1, e2, e3, e4, e5, e6 }.
Und es gilt
P(A) = P(e1) + P(e2) + P(e3) + P(e4) + P(e5) + P(e6)
Z.B. P(e1) ist die Wahrscheinlichkeit,
zuerst
eine eins
und
dann nochmal eine eins
und
sogar zuletzt eine eins zu Werfen.
Und das bedeutet (die Würfelwürfe sind unabhängig),
P(e1) ist das P r o d u k t der Wahrscheinlickeiten eine eins zu werfen:
P(e1) = P{1}) * P({1}) * P({1})
= 1/12 * 1/12 * 1/12
Und so weiter für e2, e3, e4, e5 und e6.
Schönen Gruß
Karsten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Hmm ok, dann komme ich auf 60/1728 als Wahrscheinlichkeit.
Da P(A) = [mm] P(1/12^3)+4*P(2/12^3)+P(3/12^3)
[/mm]
--> P(A) = P(1/1728)+4*P(8/1728)+P(27/1728)
--> P(A) = 60/1728.
Irgendwie habe ich den Unterschied zwischen Ergebnis und Ereignis noch nicht begriffe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ok muss ich dann besser:
P(A) = 0.034722222 schreiben (das ist 60 / 1728)
oder p = 0.034722222
|
|
|
| |
|
Hallo,
also am besten schreibst du [mm] \bruch{60}{1728}= \bruch{5}{144}, [/mm] das ist am genauesten, während die Schreibweise als Dezimalbruch meist an irgendeiner Stelle gerundet ist, aber dein Ergebnis stimmt auf jeden Fall.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Do 18.06.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Morgen,
ich finde, "du legst den Finger in die Wunde".
Tatsächlich ist,
meiner bescheidenen Meinung nach,
der Unterschied zwischen den orthographisch sehr ähnlichen Begriffen Ergebnis und Ereignis fundamental für das Verständnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Leider sind fundamentale Sachen oft schwer zu erklären;
ich versuche es mal mit Er g e b nis und Er e i g nis.
Zuerst braucht man den Begriff des Zufalls e x p e r i m e n t s:
ein Zufallsexperiment ist ein V o r g a n g, dessen
Er g e b nis
(mehr oder weniger) zufällig ist.
A b e r alle m ö g l i c h e n
Er g e b nisse
sind bekannt,
egal,
ob der Vorgang schon stattgefunden hat oder sich erst zukünftig realisieren wird;
man kann alle möglichen Ergebnisse auflisten bzw. angeben.
In dem fraglichen Würfelbeispiel sind die möglichen
Er g e b nisse
Tripel,
der erste Wert steht für den ersten Wurf ,
der zweite Wert steht für den zweiten Wurf und
der dritte Wert steht für den dritten Wurf;
also
123
soll bedueten:
zuerst eine eins gewürfelt, dann eine zwei und zuletzt eine drei.
Nun zur
A u f l i s t u n g
a l l e r möglichen Er g e b nisse:
111
112
113
usw.
116
121
122
123
usw.
161
162
163
usw.
611
612
613
usw.
665
666
Man erkennt:
insgesamt gibt es
6*6*6=6*36=216
mögliche Er g e b nisse.
Durchatmen.
Jetzt kommt ein Satz,
der mich durch seine Schlichtheit besticht:
"Ein Er e i g nis ist eine Teilmenge der Er g e b nisse."
Und das ist es,
nicht mehr
und
nicht weniger.
Im fraglichen Fall ist das Ereignis "drei gleiche Augenzahlen bei drei Würfelwürfen"
die Ergebnisteilmenge
111
222
333
444
555
666
ausgewählt aus den 216 m ö g l i c h e n Ergebnissen.
A b e r:
In den Aufgabenstellungen wird kaum
'expressis verbis'
die gesuchte T e i l m e n g e aufgelistet,
stattdessen wird das Ereignis in Prosa beschrieben,
also z.B. "drei gleiche Augenzahlen bei drei Würfelwürfen".
Aus der Prosabeschreibung die zugehörige Teilmenge abzuleiten ist oft verzwickt.
Wie bei allen Textaufgaben,
die komplizierter sind als z.B. "Berechnen Sie das Produkt aus zwei und drei",
steht man hier vor einem Übersetzungsproblem:
Die Bedeutung,
die in der Umgangssprache formuliert ist,
zu extrahieren und das Extrakt korrekt mathematisch auszudrücken.
Ein einfaches Beispiel mit nicht negativen Zahlen soll andeuten,
was ich meine:
"Mindestens ein" bedeutet "1,2,...." aber nie "0",
"Höchstens ein" bedeutet "0" oder "1" aber nie "2,3,...".
Und so weiter.
Ich finde,
die angewandte Mathematik,
wie zum Beispiel die Stochastik,
steht hier besonders im Feuer.
Ich sehe darin aber auch ihren Reiz;
Schönheit liegt in den Augen des Betrachters.
Schönen Gruß
Karsten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Hmm ok, hat mir glaube ich schon geholfen. Dann zu Aufgabe zwei.
Also die Ergebnisse sollen Zahlendouble sein, also zwei würfe.
also gibt es [mm] 6^2 [/mm] Ergebnisse = 36.
Wir suchen folgende Ereignisse = Total sollen es 5 Augen sein und eine Zahl davon soll eine 1 sein. Nach 2 Würfen gibt es also nur die Möglich keit 1 - 4 und 4 - 1.
P(A) = P(e1)+P(e2)
P(e1) = 1/12 * 2/12 = 1:72 oder 0.013888889
P(e2) = 2/12 * 1/12 = 1:72 oder 0.013888889
P(A) = 1/72 + 1/72 = 2/72 = 1/36 oder 0.027777778
Die Wahrscheinlichkeit nach zwei Würfen eine 1 gewürfelt zu haben beträgt also p = 1:36
Stimmt das so ode rahbe ich wieder etwas falsch verstanden?
|
|
|
| |
|
Hallo,
deine Lösung is leider falsch aus folgendem Grund: Mit 2 Würfen wurde die Summe 5 gewürfelt und du sollst nun berechnen wie groß dafür die Wahrscheinlichkeit is, dass wenn die Summe 2er Würfel 5 ergibt, man eine 1 unter den beiden Würfeln findet.
Um ne 5 zu würfeln gibt es folgende 4 Möglichkeiten: 1-4, 2-3, 3-2, 4-1.
Alle dieser 4 Möglichkeiten haben die selbe Wahrscheinlichkeit, nämlich [mm] \bruch{1}{36}.
[/mm]
Also is die Wahrscheinlichkeit für eine eins, wenn die Augensumme 2er Würfel 5 ist: P= [mm] \bruch{\bruch{2}{36}}{\bruch{4}{36}}=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
hmm ok leuchtet mir ein. nur warum sollten alle möglichkeiten eine Wahrscheinlichkeit von 1/36 haben? es ist ja ein gezinkter würfel die zahlen 2-5 haben die wahrscheinlichkeit 1/6 die Zahl 6 ha tdie Wahrscheinlichkeit 1/4 und die eins hat 1/12.
Dann gäbe es meiner ansicht nach ja folgende Wahrscheinlichkeiten:
für 1-4 und 4-1 = 1/12 * 2/12 = 2/144 = 1/72
für 2-3 und 3-2 = 2/12 * 2/12 = 4/144 = 1/36
Oder ist hier etwa egal ob die Würfel gezinkt sind?
|
|
|
| |
|
Sorry, du hast recht, dachte der gezinkte Würfel bezieht sich nur auf Teilaufgabe a).
Okay, wenn du mit Wahrscheinlichkeiten rechnest kommst du hier auf P= [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Fr 19.06.2009 | | Autor: | Marius6d |
Hmmah ok du hast mit einem normalen Würfel gerechnet weil hier ja nicht "Sanguetti" sondern "Corleone" würfelt. Es hat aber niemand gesagt das Corleone nicht den gezinkten Würfel von Sanguetti bekommen hat. :D Wahrscheinlich stimmt deine Annahme schon das ein normaler Würfel benutzt wird. Dann finde ich es aber blöd wenn man in der überschrift einen gezinkten Würfel bekomment und in einer Teilaufgabe plötzlich einen normalen.
Aber die Aufgabe habe ich begriffen weil hier ja 2 Bedingungen gelten. zuerst muss man ja überhaupt die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass man überhaupt nach 2 Würfen die Augenzahl 5 bekommt und dann als 2. Bedingung die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kombination mit einer 1 vorhanden ist.
Mit dem gezinkten Würfel komme ich so auf eine Wahrscheinlichkeit von 1:3 da ja gilt:
(2/72)/(6/72)
mit den Wahrscheinlichkeiten von:
1-4 = 1/72
2-3 = 2/72
3-2 = 2/72
4-1 = 1/72
Bin schon froh das ich doch schon so einiges begriffen habe, bin ja erst seit etwa 5h mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt.
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
