Wozu Asymptoten < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Nur eine allgemeine Frage. |
Wozu werden in der Praxis (Physik, tgl. Leben, usw.) Asymtoten benötigt? Es geht nicht darum, diese zu berechnen (das kann ich soweit). Es geht mir nur um den Sinn.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mo 10.12.2012 | | Autor: | chrisno |
Falls es eine Asymptote gibt, kann man den Vorgang für sehr große |x| oder Zeiten näherungsweise durch eine Gerade beschreiben. Das ist meistens einfacher, als der Orginalterm. Auch kann man so die Funktionswerte nach oben oder unten abschätzen.
Früher, als es noch keine Taschenrechner, Plotter oder Bildschirmgraphiken gab, da waren die Asymptoten, wie die ganze Kurvendiskussion, ein Hilfsmittel, sich einen Überblick zum Funktionsverlauf zu verschaffen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Di 11.12.2012 | | Autor: | Johannes.g |
Dann sind die Asymptoten eigentlich nur "akademisches Beiwerk", das man halt lernen muss?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Di 11.12.2012 | | Autor: | chrisno |
Ganz so sehe ich das nicht. Das dachte ich, wäre aus meiner Antowrt klar geworden.
|
|
|
| |
|
Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Nur eine allgemeine Frage.
> Wozu werden in der Praxis (Physik, tgl. Leben, usw.)
> Asymtoten benötigt? Es geht nicht darum, diese zu
> berechnen (das kann ich soweit). Es geht mir nur um den
> Sinn.
Wenn in der Praxis Funktionen angewendet werden, um reale Prozesse zu beschreiben, dann liegen oft die Dinge nicht so einfach wie in der Schule, sprich: die Probleme sind entweder komplex oder die bekannten Zusammenhänge lassen sich nicht so einfach in einen funktionalen Zusammenhang überführen. Dann sollte klar sein, dass die Situation oft die ist, dass man einen solchen Zusammenhang vielleicht in einem sehr kleinen Bereich kennt, aber Aussagen über größere Bereiche haben möchte. Und gleichzeitig ist eben der funktionale Zusammenhang nicht so aus dem Bauch heraus ersichtlich, was ein Pi-mal-Daumen-Abschätzen unmöglich macht.
Bekommt man jetzt bei einem solchen Problem eine Modellfunktion heraus, die bspw. für [mm] t->\infty [/mm] eine waagerechte Asymptote besitzt, dann bedeutet das letztendlich immer, dass sich das betrachtete System in ein Gleichgewicht einregeln wird. Dieses Wissen kann äußerst hilfreich sein.
Zu obigem folgendes Beispiel, welches man mit den Mitteln der Schulmathematik zumindest nachvollziehen kann. In der Pharmakokinetik untersucht man im Prinzip die Verstoffwechselung von Medikamentenwirkstoffen, und damit auch die Dauer ihrer Wirksamkeit (aber natürlich interessieren auch Aussagen über Toxizität, Metaboliten, etc.). Das einfachste pharmakoninetische Modell ist das sog. Ein-Kompartiment-Modell. Hier geht man davon aus, dass ein Wirkstoff
- ausschließlich im Blut verbeliebt
- durch die Nieren abgebaut wird (was die Folge hat, dass die Abbaugeschwindigkeit mehr oder weniger proportional zur vorhandenen Wirkstoffmenge ist).
Daraus wird natürlich sofort ersichtlich, dass bei einer Einmalgabe der Wirkstoff exponentiell abgebaut wird (wobei da natürlich die Null waagerechte Asymptote ist). Wenn man jetzt bei einem solchen Wirkstoff von der Einzelgabe zu einer kontinuierlcihen Gabe übergeht, bspw. per Infusion, dann lässt sich die Konzentration im Blut durch folgende Differenzialgleichung beschreiben:
[mm] B'(t)=m-k*B(t)=k*\left(\bruch{m}{k}-B(t)\right)
[/mm]
Wie man unschwer erkennt ist dies die Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums, deren Lösung die Form
[mm] B(t)=S-c*e^{-k*t}
[/mm]
besitzt, der man die waagerechte Asymptote unschwer ansieht. Und die hat hier sogar eine ungeheuer wichtige Bedeutung: sie sagt dem Arzt, dass sich ein konstanter Wirkstoffspiegel einstellen wird, was gerade bei Schmerzmitteln oft sehr wichtig ist, und gerade die gehorchen überwiegend dem Einkompartimentmodell! Tatsächlich haben Krankenhausärzte eine Formel, in die sie im Prinzip die bekannte Halbwertszeit des Wirkstoffs und die gewünschte Dauerkonzentration einsetzen, um die Dosis pro Srunde zu ermitteln, die verabreicht werden muss. Auch diese Formel (die ich selbst schon von einem Arzt gezeigt bekommen habe), ist im Prinzip einfachste Schulmathematik!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Johannes.g |
Danke an alle, die sich die Mühe gemacht haben, sich mit meiner Frage zu beschäftigen.
Frohe Weihnachten
|
|
|
|
