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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 So 25.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Finde abzählbar viele paarweise nicht isomorphe Wohlordnungen auf [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] |
Hi,
ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Mein erstes Problem ist, was genau ist hier mit "nicht isomorph" gemeint.
Wären zum Beispiel die Wohlordnungen auf [mm] \mathbb{N} [/mm] mit
1<2<3<...<n und
2<4<6<...<2n isomorph oder
1<2<4<5<...
1<2<3<5<...
Isomorph?
Weil dann habe ich im Grunde kaum eine Idee wie ich abzählbar viele Wohlordnungen auf [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] finden soll, denn ein gewisses System sollte man dazu ja finden bzw. angeben können. Ansonsten sollte das schwer werden.
Aber im Grunde wäre es ja schon ausreichend wenn ich eine Wohlordnung auf N finde, denn das ist ja abzählbar. :D
Ich gehe aber davon aus, dass abzählbar unendlich gemeint ist.
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Hallo YuSul,
Ein Wohlordnungshomomorphismus [mm] $S\longrightarrow [/mm] T $ ist eine Abbildung $ f$, welche stets $ x [mm] \le y\implies [/mm] fx [mm] \le [/mm] fy $ erfüllt. Ein solcher heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomorphismus $ [mm] g\colon T\longrightarrow [/mm] S $ gibt, sodass sowohl $ fg $ als auch $ gf $ durch die jeweiligen Identitäten gegeben sind. $ S$ und $ T $ (zusammen mit ihrer Ordnung) heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
Zu deinen Beispielen kann ich nichts sagen, weil mir überhaupt nicht klar ist, wie die Ordnungen aussehen sollen. Du musst genau festlegen, wann $ x [mm] \le [/mm] y $ gelten soll. Bei den letzten 3 Ordnungen ist mir nicht klar, in welcher Beziehung $3$ und $4$ zueinander stehen.
Aber da du jetzt die Definitionen kennst, kannst du dich ja selbst noch einmal an der Aufgabe versuchen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mo 26.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Na ja, leider bin ich im Grunde genau da wo ich vorher auch war.
Die Definition hilft mir da leider auch nicht viel, weil ich immer noch nicht so genau weiß wie ich die Aufgabe zu lösen habe.
Was meinst du denn damit, dass dir nicht klar ist wie meine Beispiele geordnet sind?
Eine Wohlordnung auf einer Menge A ist eine fundierte lineare Ordnung. Daher eine Menge auf der es eine zweistellige Relation gibt so, dass keine zwei Elemente dieser Menge zu einander in Relation stehen und außerdem die Eigenschaften einer linearen Ordnung (1. Antireflexivität, 2. Vergleichbarkeit, 3. Transitivität) vorhanden sind.
Wie ich zwei Wohlordnungen auf N nun prüfe ob sie isomorph zueinander sind ist mir immer noch nicht so ganz klar.
Und wie ich abzählbar viele konstruieren kann erst recht nicht...
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Hi YuSul,
Zunächst einmal bezeichne ich die Standardordnung auf [mm] $\IN [/mm] $ mit [mm] $\le_1$, [/mm] um Verwechslungen auszuschließen.
Außerdem führe ich eine Relation [mm] $\le_2$ [/mm] ein, sodass gilt $ [mm] m\le_2 [/mm] n $ genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:
(i) $ m$ ist gerade, nicht aber $ n $.
(ii) $ m$ und $ n $ sind beide gerade und es gilt $ [mm] m\le_1 [/mm] n $.
(iii) $ m $ und $ n $ sind beide ungerade und es gilt $ [mm] m\le_1 [/mm] n $.
Deine Aufgaben lauten nun:
1. Zeige, dass [mm] $\le_2$ [/mm] eine Wohlordnung definiert.
2. Zeige, dass [mm] $\le_1$ [/mm] und [mm] $\le_2$ [/mm] nicht isomorph sind.
3. Verallgemeinere, um analog für jedes positive ganze $ i $ eine Wohlordnung [mm] $\le_i [/mm] $ auf [mm] $\IN [/mm] $ zu finden.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mo 26.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich soll also nicht abzählbar viele "Ungleichungsketten" angeben, sondern abzählbar viele Relationen?
Wie kommst du denn darauf die Wohlordnung nun gerade so zu definieren?
Wenn ich zeigen möchte, dass dies auch eine Wohlordnung ist würde ich zu erst gucken ob dies eine lineare Ordnung ist.
1. Antireflexivität:
[mm] $m\leq_2 [/mm] m$ gilt für kein [mm] $m\in \mathbb{N}$
[/mm]
Dann reicht es ohne Einschränkungen den Fall zu prüfen wenn m gerade ist, weil für m ungerade geht es analog.
Sei m gerade, dann ist
[mm] $m\leq_2 [/mm] m$ genau dann wenn [mm] $m\leq_1 [/mm] m$ ist. Dies gilt aber offensichtlich nicht, weil die Standardordnung auf [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] eine lineare Ordnung ist.
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> Ich soll also nicht abzählbar viele "Ungleichungsketten"
> angeben, sondern abzählbar viele Relationen?
Ja, abzählbar viele Relationen, welche paarweise nicht-isomorphe Wohlordnungen sind. Was ist denn eine "Ungleichungskette", wenn ich fragen darf?
> Wie kommst du denn darauf die Wohlordnung nun gerade so zu
> definieren?
Das liegt daran, dass ich schon Ordinalzahlen kenne. Ich weiß, wie die Ordinalzahl [mm] $\omega+\omega$ [/mm] aussieht, dass sie nicht isomorph zu [mm] $\omega(=\IN)$ [/mm] ist, aber gleichmächtig. Ich musste also nur eine zu [mm] $\omega+\omega$ [/mm] isomorphe Ordnung auf der Menge [mm] $\IN$ [/mm] definieren.
> Wenn ich zeigen möchte, dass dies auch eine Wohlordnung
> ist würde ich zu erst gucken ob dies eine lineare Ordnung
> ist.
>
> 1. Antireflexivität:
>
> [mm]m\leq_2 m[/mm] gilt für kein [mm]m\in \mathbb{N}[/mm]
>
> Dann reicht es ohne Einschränkungen den Fall zu prüfen
> wenn m gerade ist, weil für m ungerade geht es analog.
>
> Sei m gerade, dann ist
>
> [mm]m\leq_2 m[/mm] genau dann wenn [mm]m\leq_1 m[/mm] ist. Dies gilt aber
> offensichtlich nicht, weil die Standardordnung auf
> [mm]\mathbb{N}[/mm] eine lineare Ordnung ist.
Obiges verstehe ich nicht. Für mich ist eine Ordnung eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation. Sie heißt Wohlordnung, wenn jede nichtleere Teilmenge ein Minimum hat.
Du scheinst eine andere Definition zu kennen. Teile sie mir bitte mit. Denn wie auch immer sie aussieht, weder [mm] $\le_1$ [/mm] noch [mm] $\le_2$ [/mm] erfüllen deine "Antireflexivität", tatsächlich gilt [mm] $m\le [/mm] m$ für jedes $m$, nicht für keines.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:07 Di 27.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Meine Definition habe ich dir bereits mitgeteilt.
Eine Wohlordnung ist eine fundierte, lineare Ordnung.
Auch hatte ich gedacht, dass du hier mit [mm] $\leq$ [/mm] eigentlich < als "Standardordnung" meinst.
Und mit Ungleichungskette meine ich im Grunde das was man sich doch intuitiv darunter vorstellt wenn man es hört:
$1<2<3$ oder ähnliches.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 29.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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