Wohldefiniertheit, Multiplikat < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Di 06.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Es gilt:
[mm] $((x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}) \in E_2\Leftrightarrow y_n-x_n$ [/mm] Nullfolge
Definiere
[mm] $[(x_n)_{n\in \mathbb{N}}]_{E_2}\cdot [(y_n)_{n\in \mathbb{N}}]_{E_2}=[(x_ny_n)_{n\in \mathbb{N}}]_{E_2}$
[/mm]
Zeige, dass die Multiplikation von zwei Cauchyfolgen wohldefiniert ist, aber nicht für beliebige Folgen. |
Hi,
also das die Multiplikation für beliebige Folgen nicht gilt, zeigt dieses Gegeneispiel:
[mm] $h_n=1/n$
[/mm]
[mm] $g_n=n$
[/mm]
[mm] $h_ng_n=1$
[/mm]
Wäre dieses Gegenbeispiel geeignet?
Zu der Wohldefiniertheit:
Ich nehme zwei Folgen aus den Äquivalenzklassen
[mm] $a_n,b_n\in[(x_n)_{n\in \mathbb{N}}]_{E_2}$
[/mm]
und
[mm] $u_n, v_n\in[(y_n)_{n\in \mathbb{N}}]_{E_2}$
[/mm]
Ich muss zeigen, dass
[mm] $[a_n]\cdot [u_n]=[a_nu_n]=[b_nv_n]=[b_n]\cdot [v_n]$
[/mm]
gilt.
Die erste Gleichheit gilt nach Multiplikation.
Am schwierigsten ist es
[mm] $[a_nu_n]=[b_nv_n]$
[/mm]
zu zeigen. Da diese Äquivalenzklassen sind gilt
[mm] $a_nu_n$ [/mm] ist eine Nullfolge und [mm] $b_nv_n$ [/mm] ist eine Nullfolge. Somit ist auch
[mm] $a_nu_n-b_nv_n$ [/mm] eine Nullfolge. Nun addiere ich eine "Null" dazu:
[mm] $a_nu_n-b_nu_n+b_nu_n-b_nv_n$ [/mm]
[mm] $u_n(a_n-b_n)-b_n(v_n-u_n)$ [/mm] Ist eine Nullfolge.
So recht weiß ich nicht wie ich hier die Gleichheit zeigen kann. Geht das in die richtige Richtung?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Di 06.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Es gilt:
>
> [mm]((x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}) \in E_2\Leftrightarrow y_n-x_n[/mm]
> Nullfolge
>
> Definiere
>
> [mm][(x_n)_{n\in \mathbb{N}}]_{E_2}\cdot [(y_n)_{n\in \mathbb{N}}]_{E_2}=[(x_ny_n)_{n\in \mathbb{N}}]_{E_2}[/mm]
>
> Zeige, dass die Multiplikation von zwei Cauchyfolgen
> wohldefiniert ist, aber nicht für beliebige Folgen.
> Hi,
>
> also das die Multiplikation für beliebige Folgen nicht
> gilt, zeigt dieses Gegeneispiel:
>
> [mm]h_n=1/n[/mm]
>
> [mm]g_n=n[/mm]
>
> [mm]h_ng_n=1[/mm]
>
> Wäre dieses Gegenbeispiel geeignet?
Was soll denn daran ein Gegenbeispiel sein ???
Du musst vier Folgen mit folgenden drei Eigenschaften angeben :
[mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] liegen in derselben Äquivalenzklasse [mm] ((a_n-b_n)_n [/mm] ist eine Nullfolge)
[mm] (u_n) [/mm] und [mm] (v_n) [/mm] liegen in derselben Äquivalenzklasse [mm] ((u_n-v_n)_n [/mm] ist eine Nullfolge)
Aber [mm] (a_n*u_n)_n [/mm] und [mm] (b_n*v_n)_n [/mm] liegen nicht in derselben Äquivalenzklasse.
>
> Zu der Wohldefiniertheit:
>
> Ich nehme zwei Folgen aus den Äquivalenzklassen
>
> [mm]a_n,b_n\in[(x_n)_{n\in \mathbb{N}}]_{E_2}[/mm]
>
> und
>
> [mm]u_n, v_n\in[(y_n)_{n\in \mathbb{N}}]_{E_2}[/mm]
>
> Ich muss zeigen, dass
>
> [mm][a_n]\cdot [u_n]=[a_nu_n]=[b_nv_n]=[b_n]\cdot [v_n][/mm]
>
> gilt.
>
> Die erste Gleichheit gilt nach Multiplikation.
> Am schwierigsten ist es
>
> [mm][a_nu_n]=[b_nv_n][/mm]
>
> zu zeigen. Da diese Äquivalenzklassen sind gilt
Bis hierher stimmt alles.
>
> [mm]a_nu_n[/mm] ist eine Nullfolge und [mm]b_nv_n[/mm] ist eine Nullfolge.
Nein. Warum sollten das Nullfolgen sein ?
> Somit ist auch
>
> [mm]a_nu_n-b_nv_n[/mm] eine Nullfolge.
Genau das ist zu zeigen, denn damit weist du die Gleichheit der Äquivalenzklassen [mm] [a_nu_n] [/mm] und [mm] [b_nv_n] [/mm] nach.
> Nun addiere ich eine "Null" dazu:
Das ist eine sehr gute Idee.
>
> [mm]a_nu_n-b_nu_n+b_nu_n-b_nv_n[/mm]
>
> [mm]u_n(a_n-b_n)-b_n(v_n-u_n)[/mm] Ist eine Nullfolge.
Das ist mithilfe der Voraussetzungen und Eigenschaften von Cauchy-Folgen zu zeigen.
>
> So recht weiß ich nicht wie ich hier die Gleichheit zeigen
> kann. Geht das in die richtige Richtung?
Ja, der Weg ist absolut richtig. Die Richtung muss am Ende umgekehrt werden: aus der letzten (noch zu begründenden) Zeile (dass [mm] u_n(a_n-b_n)-b_n(v_n-u_n) [/mm] eine Nullfolge ist) folgerst du die Richtigkeit der ersten Zeile (dass [mm] a_nu_n-b_nv_n [/mm] eine Nullfolge ist).
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Di 06.05.2014 | | Autor: | YuSul |
[mm] $a_n-b_n$ [/mm] und [mm] $v_n-u_n$ [/mm] sind Nullfolgen, nach Voraussetzung.
Jede Cauchyfolge ist beschränkt, also gilt die Gleichheit
[mm] $[a_nu_n]=[b_nv_n]$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
genau so !
Etwas knapp formuliert, aber richtig erkannt, dass die Beschränktheit der Folgen das Entscheidende ist.
Jetzt noch alles hübsch aufschreiben und das Gegenbeispiel nicht vergessen.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Mi 07.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay. :)
Aber bei dem Gegenbeispiel können es ja beliebige Folgen sein. Warum brauch ich dann 4? Sie müssen ja nicht in der Äquivalenzklasse liegen, oder verstehe ich das falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Okay. :)
>
> Aber bei dem Gegenbeispiel können es ja beliebige Folgen
> sein. Warum brauch ich dann 4? Sie müssen ja nicht in der
> Äquivalenzklasse liegen, oder verstehe ich das falsch?
Von welcher Äquivalenzklasse sprichst du hier ?
Du sollst doch durch ein Gegenbeispiel zeigen, dass die Voraussetzung der Cauchy-Folge (und wir wissen inzwischen, dass die Voraussetzung der Beschränktheit entscheidend ist) unverzichtbar ist, damit die angegebene Multiplikation von Äquivalenzklassen wohldefiniert ist.
Du musst also zwei Äquivalenzklassen [x] und [y] angeben, bei denen das Ergebnis der Multiplikation [x]*[y] davon abhängt, welche Repräsentanten [mm] (a_n), (b_n)\in [/mm] [x] und welche Repräsentanten [mm] (u_n), (v_n)\in [/mm] [y] man zur Berechnung des Produktes verwendet.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Mi 07.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Kann ich dann nicht einfach [mm] a_n=b_n [/mm] wählen wobei [mm] a_n [/mm] unbeschränkt ist, aber nun mal konstant Null, wenn ich sie subtrahiere. Für [mm] u_n [/mm] und [mm] v_n [/mm] wähle ich einfach eine beschränkte Cauchyfolge.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ob das funktioniert, kann man entscheiden, wenn du ganz explizit solche Folgen hinschreibst.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Mi 07.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Naja, wenn ich [mm] $a_n=b_n=n$ [/mm] und [mm] $u_n=v_n=1/n$ [/mm] habe, dann sind ihre Differenzen konstant Null, also Elemente von [mm] $E_2$
[/mm]
Wenn ich nun nach Definition der Multiplikation diese multipliziere, dann ist
[mm] $a_n\cdot u_n=n\cdot [/mm] 1/n=1$
Also das was ich oben schon einmal angegeben hatte und du sagtest es wäre falsch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
aber [mm] b_n*v_n [/mm] ist doch auch konstant 1 und damit ergibt sich doch dieselbe Äquivalenzklasse, also ist das doch kein Gegenbeispiel.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:10 Mi 07.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Wenn ich ehrlich bin weiß ich gar nicht warum solche Bedingungen an die Folgen gestellt werden. Sie sind doch beliebig, aber müssen trotzdem in der Äquivalenzklasse liegen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:59 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
Hilft das ?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:46 Mi 07.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich schaffe es nicht eine solche Konstellation zu finden. Ich soll Cauchyfolgen angeben, die zwar Nullfolgen sind, aber wenn ich sie multipliziere etwas unbeschränktes rauskommt.
Ich verstehe immer noch nicht welche "Bauart" diese Folgen haben dürfen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:58 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
dein Beispiel von oben ist doch als Ansatz nicht schlecht.
Du musst nur v so abändern (es ist nur eine kleine Änderung nötig), dass zwar u-v eine Nullfolge bleibt, aber dass b·v nicht konstant 1 ist (genauer : dass a·u - b·v keine Nullfolge ist).
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:01 Mi 07.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann einfach
[mm] $a_n=b_n=n$
[/mm]
[mm] $u_n=\frac1n$
[/mm]
[mm] $v_n=\frac2n$
[/mm]
Das müsste doch passen, oder.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:12 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Sax |
Mein Gott, jetzt hat er's !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:15 Mi 07.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Neeeeeeiiiiiiiiiiiiiiiiin, ich hätte gerne noch 5 Stunden davor gesessen um am Ende zu merken wie einfach das ist...
Vielen Dank für deine Hilfe. Ich hoffe doch du bist nicht extra wegen mir wach geblieben. 
Vielen lieben Dank.
|
|
|
|
