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Wohldefiniertheit Maßintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Di 22.05.2012
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Sei [mm] $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ [/mm] ein Maßraum.
Ist [mm] $X:\Omega \to \overline{\IR}$ [/mm] eine nichtnegative messbare numerische Funktion und [mm] $X_i \uparrow [/mm] X$ eine Folge nichtnegativer primitiver Funktionen, so definiere

[mm] \int [/mm] X d [mm] \mu [/mm] := [mm] \sup_{i\in\IN} \int X_i [/mm] d [mm] \mu. [/mm]



Hallo!

Üblicherweise wird für den Beweis der Wohldefiniertheit zuerst eine Hilfsaussage gezeigt, nämlich dass:

" Ist X eine nichtneg. primitive Funktion, [mm] $(X_i)$ [/mm] monoton wachsende Folge nichtnegativer primitiver Funktionen mit $X [mm] \le \sup_{i\in\IN}X_i$, [/mm] so gilt [mm] $\int [/mm] X d [mm] \mu \le \sup_{i\in\IN}\int X_i [/mm] d [mm] \mu$. [/mm] "

Daraus folgt dann leicht die Behauptung. Man braucht für den "üblichen" Beweis jedoch, dass primitive Funktionen NICHT den Wert [mm] $\infty$ [/mm] annehmen, in unserer Vorlesung wurde das aber so definiert.

Ich überlege nun, ob man den Beweis so modifizieren kann, dass er trotzdem funktioniert. Der Einfachheit halber wollte ich zunächst nur den Fall $X = [mm] \infty$ [/mm] überall betrachten.

D.h. mein Ziel ist es zu zeigen:
"Ist [mm] $(X_i)$ [/mm] monoton wachsende Folge nichtnegativer primitiver Funktionen mit [mm] $\sup_{i\in\IN}X_i [/mm] = [mm] \infty$, [/mm] so folgt [mm] $\sup_{i\in\IN}\int X_i [/mm] d [mm] \mu [/mm] = [mm] \infty$. [/mm] "

Die [mm] $X_i$ [/mm] haben alle die Gestalt [mm] $X_i [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{m_i} x_{i_k}*1_{A_{i_k}}$ [/mm] mit [mm] $x_{i_k} \in \overline{\IR}_{\ge 0}$, $A_{i_k} \in \mathcal{A}$. [/mm]


--> Meint ihr, dass kann man zeigen? Ich scheitere im Moment daran, weil punktweise Konvergenz zu schwach ist um irgendwelche Aussagen für die [mm] $X_i$ [/mm] zu bekommen...


Viele Grüße,
Stefan

        
Bezug
Wohldefiniertheit Maßintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:52 Mi 23.05.2012
Autor: tobit09

Hallo Stefan,


> Üblicherweise wird für den Beweis der Wohldefiniertheit
> zuerst eine Hilfsaussage gezeigt, nämlich dass:
>  
> " Ist X eine nichtneg. primitive Funktion, [mm](X_i)[/mm] monoton
> wachsende Folge nichtnegativer primitiver Funktionen mit [mm]X \le \sup_{i\in\IN}X_i[/mm],
> so gilt [mm]\int X d \mu \le \sup_{i\in\IN}\int X_i d \mu[/mm]. "
>  
> Daraus folgt dann leicht die Behauptung. Man braucht für
> den "üblichen" Beweis jedoch, dass primitive Funktionen
> NICHT den Wert [mm]\infty[/mm] annehmen, in unserer Vorlesung wurde
> das aber so definiert.

>  
> Ich überlege nun, ob man den Beweis so modifizieren kann,
> dass er trotzdem funktioniert.

Ja, das ist möglich.


> Der Einfachheit halber
> wollte ich zunächst nur den Fall [mm]X = \infty[/mm] überall
> betrachten.
>  
> D.h. mein Ziel ist es zu zeigen:
>  "Ist [mm](X_i)[/mm] monoton wachsende Folge nichtnegativer
> primitiver Funktionen mit [mm]\sup_{i\in\IN}X_i = \infty[/mm], so
> folgt [mm]\sup_{i\in\IN}\int X_i d \mu = \infty[/mm]. "

Diese Aussage ist für [mm] $\mu$ [/mm] das Nullmaß falsch.


> --> Meint ihr, dass kann man zeigen? Ich scheitere im
> Moment daran, weil punktweise Konvergenz zu schwach ist um
> irgendwelche Aussagen für die [mm]X_i[/mm] zu bekommen...

Unterscheide die Fälle [mm] $\mu(X=\infty)=0$ [/mm] und [mm] $\mu(X=\infty)>0$. [/mm]

Im Falle [mm] $\mu(X=\infty)=0$ [/mm] kannst du die zu zeigende Aussage auf den bereits bewiesenen Fall, in dem $X$ und die [mm] $X_i$ [/mm] reellwertig sind, zurückführen.

Im Falle [mm] $\alpha:=\mu(X=\infty)>0$ [/mm] kannst du folgende Aussage über die [mm] $X_i$ [/mm] zeigen: Für alle (noch so großen) [mm] $K\in\IR$ [/mm] existiert ein [mm] $i_0\in\IN$ [/mm] mit [mm] $\mu(X_{i_0}>K)\ge\bruch\alpha2$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Wohldefiniertheit Maßintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:34 Mo 28.05.2012
Autor: steppenhahn

Hallo Tobias,

vielen Dank für deine Antwort!
Damit habe ich es hinbekommen.

Stefan

Bezug
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