Wkeiten & cov beim Würfeln < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Do 17.02.2005 | | Autor: | Edric |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Erstmal hallo, ich bin neu hier und würde mich freuen, wenn mir jemand bei der folgenden Stochastik-Aufgabe etwas auf die Sprünge helfen könnte. Ich konnte die Veranstaltung, in der die Thematik wie Covarianz behandelt wurde nicht besuchen, und habe trotz ausgeliehener Mitschrift keinen wirklichen Ansatz für diese Übungsaufgabe. Ich würde erstmal folgendes wissen wollen:
1. Was könnte mit "sinnvolle Werte" gemeint sein? Ich könnte mir vorstellen, dass es jeweils 0, N und ein Wert dazwischen (vielleicht N/2 gerundet) ist. Irritierend finde ich, dass ja von "allen" sinnvollen Werten die Rede ist.
2. Bei a) ist die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, dass in den Serien 1 und 2 u Sechsen und in Serien 2 und 3 v Sechsen auftreten, allerdings hängen diese beiden Werte ja offenbar zusammen. Ich glaube, dass das wichtig ist, aber irgendwie macht es nicht "Klick". :-(
3. Die bedingte Wahrscheinlichkeit in b) kann ich auflösen bis zum mir bekannten P(W=w | U=u) = (P(W=w) [mm] \cap [/mm] P(U=u)) / P(U=u). Wie weiter?
4. Ich weiss, dass man die Kovarianz in c) allgemein mit E( (X-E(X)) (Y-E(Y)) ) berechnen kann -- nur, wie geht das hier? Wie bekomme ich die Erwartungswerte EU bzw. EV?
5. Was ist rho(U, V)? Ich hab dazu gar nichts, und googlen nach "rho" bzw. dem griechischen Buchstaben ist hoffnungslos.
Gruß, Edric
Mit einem idealen Würfel werden 3 Serien mit je N Würfen geworfen.
U sei die Gesamtzahl der Sechsen aus der ersten und zweiten Serie,
V die Gesamtzahl der Sechsen aus der zweiten und dritten Serie sowie W
die Gesamtzahl der Sechsen aus allen drei Serien.
Berechnen Sie formelmäßig für alle sinnvollen Werte von u, v und w:
(a) P(U=u, V=v) = [_____] (u = ... ; v = ...)
(b) P(W=w | U=u) = [_____] (u = ... ; w = ...)
(c) cov(U,V) = [_____]
(d) rho(U,V) = [_____]
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Hallo Edric!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Gleich was vorneweg: Ehrlich gesagt bietet es sich an, zuerst die Aufgabenstellung hinzuschreiben, und anschließend die Fragen dazu. So ist es ziemlich unangenehm, weil man überhaupt nicht weiß, worum es geht.
> 1. Was könnte mit "sinnvolle Werte" gemeint sein? Ich
> könnte mir vorstellen, dass es jeweils 0, N und ein Wert
> dazwischen (vielleicht N/2 gerundet) ist. Irritierend finde
> ich, dass ja von "allen" sinnvollen Werten die Rede ist.
"Sinnvolle Werte" sind wohl solche $u$ und $v$, so dass $P(U=u,V=v)>0$ gilt, also eine Wahrscheinlichkeit ungleich 0 herauskommt.
> 2. Bei a) ist die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, dass
> in den Serien 1 und 2 u Sechsen und in Serien 2 und 3 v
> Sechsen auftreten, allerdings hängen diese beiden Werte ja
> offenbar zusammen. Ich glaube, dass das wichtig ist, aber
> irgendwie macht es nicht "Klick". :-(
Also mir erscheint diese Aufgabe wirklich schwer, weil man viele Dinge beachten muss und einige Fälle zu unterscheiden hat. Einige Tipps:
1) Am besten, Du überlegst zuerst, was ich unter 1 geschrieben habe. Gib Dir ein paar Werte für u vor und überlege, was das für v bedeutet. Am Ende solltest Du Bedingungen an u und v aufstellen, so dass alle relevanten Kombinationen (im Sinne von "sinnvollen Werten") darin enthalten sind. [mm] $u,v\ge [/mm] 0$ ist wohl die einfachste Bedingung.
2) Ich bin so vorgegangen, dass ich mit X, Y und Z die Anzahl der Sechsen in der ersten, zweiten und dritten Serie bezeichnet habe, d.h. U=X+Y und V=Y+Z. Dann habe ich überlegt, welche Werte X, Y und Z annehmen können, wenn U=u und V=v vorgegeben ist. Beispiel U=1, V=1:Dann ist X entweder 0 oder 1. Wenn X=0 gilt, folgt Y=1 und damit Z=0. Wenn dagegen X=1 gilt, folgt Y=0 und Z=1. Der Vorteil von dieser Aufteilung ist, dass X, Y und Z jeweils binomialverteilt sind mit Parametern N und 1/6 und dass sie unabhängige Zufallsvariablen sind. Damit darf man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten einfach multiplizieren. Zu o.g. Beispiel:
[mm]P(U=1,V=1)=P(X=0,Y=1,Z=0)+P(X=1,Y=0,Z=1)={N\choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-1} + {N\choose 1}{N\choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-2}[/mm]
Nun solltest Du das auch mal für ein paar andere Beispiele durchführen und Dich anschließend an den allgemeinen Fall mit u und v wagen. Bin gespannt, ob Du auf dieselbe Formel kommst wie ich 
3) Das Problem ist symmetrisch.
> 3. Die bedingte Wahrscheinlichkeit in b) kann ich auflösen
> bis zum mir bekannten P(W=w | U=u) = (P(W=w) [mm]\cap[/mm] P(U=u)) /
> P(U=u). Wie weiter?
So schreibt man das aber nicht auf. Du kannst ja nur den Schnitt von Ereignissen bilden, nicht von Wahrscheinlichkeiten.
Ich denke, Du kommst auch hier mit den Variablen X,Y,Z weiter. Schließlich gilt U+Z=W. Zunächst solltest Du aber überlegen, für welche Werte u und w eine Wkt. ungleich 0 rauskommt (wie oben).
> 4. Ich weiss, dass man die Kovarianz in c) allgemein mit E(
> (X-E(X)) (Y-E(Y)) ) berechnen kann -- nur, wie geht das
> hier? Wie bekomme ich die Erwartungswerte EU bzw. EV?
U ist ja binomialverteilt (genau wie V). Darüber solltest Du schnell den Erwartungswert bestimmen können.
> 5. Was ist rho(U, V)? Ich hab dazu gar nichts, und googlen
> nach "rho" bzw. dem griechischen Buchstaben ist
> hoffnungslos.
Das ist der Korrelationskoeffizient von U und V, definiert durch
[mm]\rho(U,V)=\frac{Cov(U,V)}{\sqrt{Var(U)\cdot Var(V)}}[/mm]
Viel Erfolg
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Edric |
Auch hier danke für die Antwort!  Die Fragen sollten eigentlich unter die Aufgabe, leider hab ich den Copy&Paste-Fehler zu spät bemerkt.
> Ich bin so vorgegangen, dass ich mit X, Y und Z die
> Anzahl der Sechsen in der ersten, zweiten und dritten Serie
> bezeichnet habe, d.h. U=X+Y und V=Y+Z. Dann habe ich
> überlegt, welche Werte X, Y und Z annehmen können, wenn U=u
> und V=v vorgegeben ist. [...] Zu o.g. Beispiel:
>
> [mm]P(U=1,V=1)=P(X=0,Y=1,Z=0)+P(X=1,Y=0,Z=1)={N\choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-1} + {N\choose 1}{N\choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-2}[/mm]
>
> Nun solltest Du das auch mal für ein paar andere Beispiele
> durchführen und Dich anschließend an den allgemeinen Fall
> mit u und v wagen. Bin gespannt, ob Du auf dieselbe Formel
> kommst wie ich
Ich hab mir eine Tabelle erstellt und ein Muster entdeckt:
- für jedes Paar (U, V) wächst Y von startend 0 an, bis es U oder V erreicht hat (je nachdem welches kleiner ist)
- im ersten Schritt ist X = U und Z = V
- X und Z werden in jedem der nachfolgenden Schritte um 1 vermindert
- dabei erreicht das kleinere im letzten Schritt 0, da es ja umgekehrt zum wachsenden Y läuft
Anhand dieser Beobachtungen und deiner Idee hab ich folgende Formel gebaut:
[mm]P = \summe_{i=k}^{U+V} {N\choose 1}^i\left(\frac{1}{6}\right)^i\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-i}[/mm]
Für k vermute ich, dass es max(U, V) ist -- also der größere der beiden Werte.
Wie sieht deine Formel aus?
> 3) Das Problem ist symmetrisch.
Okay, wenn ich U und V vertausche, wirkt sich das auf die Formel nicht aus; die funktioniert für beide Fälle. Hab ich da alles beachtet?
> > 3. Die bedingte Wahrscheinlichkeit in b) [...]
> Ich denke, Du kommst auch hier mit den Variablen X,Y,Z
> weiter. Schließlich gilt U+Z=W. Zunächst solltest Du aber
> überlegen, für welche Werte u und w eine Wkt. ungleich 0
> rauskommt (wie oben).
Hier muss auch wieder gelten, dass beide [mm] \ge [/mm] 0 sind, und W ist immer [mm] \ge [/mm] U. Kannst du mir hier wohl auch noch ein Beispiel geben? Aus meiner Tabelle kann ich nichts brauchbares ableiten...
> Wie bekomme ich die Erwartungswerte EU bzw. EV?
>
> U ist ja binomialverteilt (genau wie V). Darüber solltest
> Du schnell den Erwartungswert bestimmen können.
Ahja, da hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf... EX bei der Bionomialverteilung ist ja N*p. Ich frage mich nur, wie weit man das dann auflösen sollte -- vor allem bei [mm] \rho(U,V) [/mm] gibt das ganz schnell einen hässlich aufgeblähten Ausdruck.
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Hallo Edric!
> > Nun solltest Du das auch mal für ein paar andere
> Beispiele
> > durchführen und Dich anschließend an den allgemeinen Fall
>
> > mit u und v wagen. Bin gespannt, ob Du auf dieselbe
> Formel
> > kommst wie ich
>
> Ich hab mir eine Tabelle erstellt und ein Muster
> entdeckt:
> - für jedes Paar (U, V) wächst Y von startend 0 an, bis es
> U oder V erreicht hat (je nachdem welches kleiner ist)
> - im ersten Schritt ist X = U und Z = V
> - X und Z werden in jedem der nachfolgenden Schritte um 1
> vermindert
> - dabei erreicht das kleinere im letzten Schritt 0, da es
> ja umgekehrt zum wachsenden Y läuft
Weiß nicht ganz, was Du hier mit Schritt meinst. Ist aber nicht so wichtig. Glaube, dass ich weiß, was Du sagen willst.
> Anhand dieser Beobachtungen und deiner Idee hab ich
> folgende Formel gebaut:
> [mm]P = \summe_{i=k}^{U+V} {N\choose 1}^i\left(\frac{1}{6}\right)^i\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-i}[/mm]
> Für k vermute ich, dass es max(U, V) ist -- also der
> größere der beiden Werte.
Hm. Da stimmt aber einiges nicht. Hast Du mal überpüft, was bei P(U=2N,V=2N) rauskommt? Da würde Deine Summe ja von $k=2N$ bis $k=4N$ laufen. Dabei sollte nur ein einziger Summand dastehen...
Außerdem macht der Faktor [mm] ${N\choose 1}^i$ [/mm] wenig Sinn, denn es muss ja darum gehen, die Möglichkeiten rauszusuchen, in den drei Serien jeweils die Sechsen zu platzieren. Es sollten deshalb 3 Binomialkoeffizienten in der Formel auftauchen, und zwar von der Form
[mm]{N\choose x}\cdot {N\choose y}\cdot {N\choose z}[/mm]
wobei x,y,z den Werten entsprechen, die die oben def. X,Y,Z annehmen. Worüber summierst Du denn eigentlich, d.h. was symbolisiert der Index i? Mir scheint, als wäre das die Anzahl der Sechsen insgesamt. Aber das hilft doch nicht weiter, wenn Du wissen möchtest, welche Werte X,Y,Z besitzen.
Es ist doch so, dass Du bei gegebenem u und v eine der Zahlen x,y,z vorgibst, und daraus die anderen beiden bestimmen kannst. Also z.B. u=1, v=1. Dann kannst Du x frei wählen (entweder 0 oder 1), und daraus ergeben sich y=u-x und z=v-y=v-(u-x). Also solltest Du dann auch über die verschiedenen Werte von x summieren.
> > 3) Das Problem ist symmetrisch.
>
> Okay, wenn ich U und V vertausche, wirkt sich das auf die
> Formel nicht aus; die funktioniert für beide Fälle. Hab ich
> da alles beachtet?
Ok, war nicht gerade ein Monstertipp.
> > > 3. Die bedingte Wahrscheinlichkeit in b) [...]
> > Ich denke, Du kommst auch hier mit den Variablen X,Y,Z
>
> > weiter. Schließlich gilt U+Z=W. Zunächst solltest Du aber
>
> > überlegen, für welche Werte u und w eine Wkt. ungleich 0
>
> > rauskommt (wie oben).
>
> Hier muss auch wieder gelten, dass beide [mm]\ge[/mm] 0 sind, und W
> ist immer [mm]\ge[/mm] U. Kannst du mir hier wohl auch noch ein
> Beispiel geben? Aus meiner Tabelle kann ich nichts
> brauchbares ableiten...
Außerdem ist aber noch [mm]W\le N+U[/mm] und [mm]0\le U\le 2N[/mm]. Diese Überlegungen hast Du zum ersten Problem noch gar nicht ausgeführt, oder? Diese Aufgabe solltest Du erst machen, wenn Du die FOrmel oben richtig hast. Sonst ist das schwierig. Auf jeden Fall kannst Du [mm]U\sim B(2N,1/6)[/mm] benutzen.
> > Wie bekomme ich die Erwartungswerte EU bzw. EV?
> >
> > U ist ja binomialverteilt (genau wie V). Darüber solltest
>
> > Du schnell den Erwartungswert bestimmen können.
>
> Ahja, da hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf... EX bei der
> Bionomialverteilung ist ja N*p. Ich frage mich nur, wie
> weit man das dann auflösen sollte -- vor allem bei
> [mm]\rho(U,V)[/mm] gibt das ganz schnell einen hässlich aufgeblähten
> Ausdruck.
Na ja, für E(UV) solltest Du die Zufallsvariablen X,Y,Z benutzen, denn:
[mm]E(UV)=E((X+Y)\cdot(Y+Z))[/mm]
Ausmultiplizieren und Ausnutzen der Informationen über X,Y,Z (insbesondere deren Unabhängigkeit) liefert bereits das Ergebnis.
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Edric |
Hallo, ich glaube, ich muss mich erstmal für deine Geduld bedanken.
> > Ich hab mir eine Tabelle erstellt und ein Muster
> > entdeckt:
> > - für jedes Paar (U, V) wächst Y von startend 0 an, bis
> es
> > U oder V erreicht hat (je nachdem welches kleiner ist)
> > - im ersten Schritt ist X = U und Z = V
> > - X und Z werden in jedem der nachfolgenden Schritte um
> 1
> > vermindert
> > - dabei erreicht das kleinere im letzten Schritt 0, da
> es
> > ja umgekehrt zum wachsenden Y läuft
>
> Weiß nicht ganz, was Du hier mit Schritt meinst. Ist aber
> nicht so wichtig. Glaube, dass ich weiß, was Du sagen
> willst.
Ich hab versucht, das "algorithmisch" zu lösen und darin ein Muster zu finden, das ich mit den o.g. Regeln für alle Fälle erzeugen kann. Eine Zeile meiner Tabelle mit den möglichen Kombinationen ist dabei ein "Schritt".
für U = 2, V = 2:
X Y Z
2 0 2
1 1 1
0 2 0
für U = 3, V = 2:
X Y Z
3 0 2
2 1 1
1 2 0
usw.
Man sieht hier, dass Y bei 0 startet und jeweils um 1 wächst (und zwar bis es U bzw. V erreicht hat, je nachdem welches das kleinere ist). X startet bei U, Z startet bei V; beide werden für jeden Schritt um 1 vermindert. Das funktioniert für alle konkreten Fälle, die ich versucht habe.
Die Zeilensumme ist in der ersten Zeile ist U+V und nimmt dann auch jeweils um 1 ab, in der letzten Zeile ist sie gleich dem max. Wert aus der Menge von U und V.
Es gibt also ein System, und das hab ich (ohne Erfolg) versucht, in die Summe zu packen.
> es muss ja darum gehen, die Möglichkeiten rauszusuchen, in
> den drei Serien jeweils die Sechsen zu platzieren. Es
> sollten deshalb 3 Binomialkoeffizienten in der Formel
> auftauchen, und zwar von der Form
>
> [mm]{N\choose x}\cdot {N\choose y}\cdot {N\choose z}[/mm]
>
> wobei x,y,z den Werten entsprechen, die die oben def. X,Y,Z
> annehmen.
[mm]P(U=1,V=1)=P(X=0,Y=1,Z=0)+P(X=1,Y=0,Z=1)={N\choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-1} + {N\choose 1}{N\choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-2}[/mm]
Wenn ich mit diesem Beispiel von dir für U = 1, V = 1 vergleiche, mache ich noch folgende Beobachtungen:
1. Die Gesamtzahl aller Würfe ist 3N.
2. Du addierst die Wkt. für die einzelnen möglichen Kombinationen.
3. Die Wkt. für eine Sechs ist ja 1/6, die Wkt. für keine Sechs dementsprechend 5/6, daraus entsteht:
[mm]\left(\frac{1}{6}\right)^i\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-i}[/mm]
> Es ist doch so, dass Du bei gegebenem u und v eine der
> Zahlen x,y,z vorgibst, und daraus die anderen beiden
> bestimmen kannst. Also z.B. u=1, v=1. Dann kannst Du x frei
> wählen (entweder 0 oder 1), und daraus ergeben sich y=u-x
> und z=v-y=v-(u-x). Also solltest Du dann auch über die
> verschiedenen Werte von x summieren.
D.h., ich mache alles von x abhängig und erzeuge daraus alle anderen Werte ausgehend von U=u und V=v?
Ich kann die ganzen Fakten absolut nicht zusammenziehen; die Aufgabe macht mich total verrückt. Ich hab zwar immer das Gefühl, dass ich kurz auf dem richtigen Weg bin, aber es passt nie alles wirklich zusammen.
Normalerweise würde ich in so einem Fall die Aufgabe einige Tage ruhen lassen, aber die Zeit fehlt mir... Mir hilft es häufig beim Verstehen, wenn ich weiß, worauf ich konkret hinaus will und von dort rückwärts vorgehe. Kann ich dich bitten, mir die Formel zu verraten und ein, zwei Worte dazu zu schreiben?
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Hallo Edric!
> Hallo, ich glaube, ich muss mich erstmal für deine Geduld
> bedanken.
Gern.
> > > Ich hab mir eine Tabelle erstellt und ein Muster
> > > entdeckt:
> > > - für jedes Paar (U, V) wächst Y von startend 0 an,
> bis
> > es
> > > U oder V erreicht hat (je nachdem welches kleiner
> ist)
> > > - im ersten Schritt ist X = U und Z = V
> > > - X und Z werden in jedem der nachfolgenden Schritte
> um
> > 1
> > > vermindert
> > > - dabei erreicht das kleinere im letzten Schritt 0,
> da
> > es
> > > ja umgekehrt zum wachsenden Y läuft
> >
> > Weiß nicht ganz, was Du hier mit Schritt meinst. Ist aber
>
> > nicht so wichtig. Glaube, dass ich weiß, was Du sagen
> > willst.
>
> Ich hab versucht, das "algorithmisch" zu lösen und darin
> ein Muster zu finden, das ich mit den o.g. Regeln für alle
> Fälle erzeugen kann. Eine Zeile meiner Tabelle mit den
> möglichen Kombinationen ist dabei ein "Schritt".
>
> für U = 2, V = 2:
> X Y Z
> 2 0 2
> 1 1 1
> 0 2 0
>
> für U = 3, V = 2:
> X Y Z
> 3 0 2
> 2 1 1
> 1 2 0
>
> usw.
Super. Da bist Du doch auf dem richtigen Weg.
> Man sieht hier, dass Y bei 0 startet und jeweils um 1
> wächst (und zwar bis es U bzw. V erreicht hat, je nachdem
> welches das kleinere ist). X startet bei U, Z startet bei
> V; beide werden für jeden Schritt um 1 vermindert. Das
> funktioniert für alle konkreten Fälle, die ich versucht
> habe.
Aber Y startet nicht immer bei 0. Denk an den Fall u=2N. Da muss ja y=N sein.
> Die Zeilensumme ist in der ersten Zeile ist U+V und nimmt
> dann auch jeweils um 1 ab, in der letzten Zeile ist sie
> gleich dem max. Wert aus der Menge von U und V.
>
> Es gibt also ein System, und das hab ich (ohne Erfolg)
> versucht, in die Summe zu packen.
>
> > es muss ja darum gehen, die Möglichkeiten rauszusuchen,
> in
> > den drei Serien jeweils die Sechsen zu platzieren. Es
> > sollten deshalb 3 Binomialkoeffizienten in der Formel
> > auftauchen, und zwar von der Form
> >
> > [mm]{N\choose x}\cdot {N\choose y}\cdot {N\choose z}[/mm]
> >
> > wobei x,y,z den Werten entsprechen, die die oben def.
> X,Y,Z
> > annehmen.
>
> [mm]P(U=1,V=1)=P(X=0,Y=1,Z=0)+P(X=1,Y=0,Z=1)={N\choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-1} + {N\choose 1}{N\choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-2}[/mm]
>
>
> Wenn ich mit diesem Beispiel von dir für U = 1, V = 1
> vergleiche, mache ich noch folgende Beobachtungen:
> 1. Die Gesamtzahl aller Würfe ist 3N.
> 2. Du addierst die Wkt. für die einzelnen möglichen
> Kombinationen.
> 3. Die Wkt. für eine Sechs ist ja 1/6, die Wkt. für keine
> Sechs dementsprechend 5/6, daraus entsteht:
>
> [mm]\left(\frac{1}{6}\right)^i\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-i}[/mm]
Alles OK. Aber wie gesagt: i hilft meines Erachtens hier nicht weiter.
> > Es ist doch so, dass Du bei gegebenem u und v eine der
>
> > Zahlen x,y,z vorgibst, und daraus die anderen beiden
> > bestimmen kannst. Also z.B. u=1, v=1. Dann kannst Du x
> frei
> > wählen (entweder 0 oder 1), und daraus ergeben sich y=u-x
>
> > und z=v-y=v-(u-x). Also solltest Du dann auch über die
>
> > verschiedenen Werte von x summieren.
>
> D.h., ich mache alles von x abhängig und erzeuge daraus
> alle anderen Werte ausgehend von U=u und V=v?
Genau.
OK, ich greife mal Deinen Ansatz von oben auf und formuliere die Summe mit y. Meine Formel lautet:
[mm]P(U=u,V=v)=\sum\limits_{y=\max\{0,u-N,v-N\}}^{\min\{u,v,N\}}
{N\choose u-y}{N\choose y}{N\choose v-y}\left(\frac{1}{6}\right)^{u+v-y}\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-(u+v-y)}[/mm]
Die Beschränkung für y folgt aus den Ungleichungen
[mm]0\le x\le N\Leftrightarrow 0\le u-y\le N,[/mm]
[mm]0\le z\le N\Leftrightarrow 0\le v-y\le N[/mm]
und
[mm]0\le y\le N.[/mm]
Die Binomialkoeffizienten sind die jeweiligen Möglichkeiten x, y bzw. z Sechsen unter N Versuchen zu platzieren. u+v-y entspricht Deinem i, also der Gesamtzahl an Sechsen in den drei Serien. Kannst ja mal schauen, ob die Formel zu all Deinen Beispielen passt. Du warst ja schon ganz nah dran. Auf jeden Fall ist sie ohne Gewähr gegen Tipp- oder Denkfehler
Viele Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 So 20.02.2005 | | Autor: | Edric |
> [mm]\left(\frac{1}{6}\right)^i\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-i}[/mm]
>
> Alles OK. Aber wie gesagt: i hilft meines Erachtens hier
> nicht weiter.
i sollte hier nur ein Platzhalter für "Anzahl Sechsen" sein -- sorry, dass ich es nicht dazugeschrieben habe.
> OK, ich greife mal Deinen Ansatz von oben auf und
> formuliere die Summe mit y. Meine Formel lautet:
>
>
> [mm]P(U=u,V=v)=\sum\limits_{y=\max\{0,u-N,v-N\}}^{\min\{u,v,N\}}
{N\choose u-y}{N\choose y}{N\choose v-y}\left(\frac{1}{6}\right)^{u+v-y}\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-(u+v-y)}[/mm]
>
>
> Die Beschränkung für y folgt aus den Ungleichungen
>
> [mm]0\le x\le N\Leftrightarrow 0\le u-y\le N,[/mm]
>
> [mm]0\le z\le N\Leftrightarrow 0\le v-y\le N[/mm]
>
> und
>
> [mm]0\le y\le N.[/mm]
>
> Die Binomialkoeffizienten sind die jeweiligen Möglichkeiten
> x, y bzw. z Sechsen unter N Versuchen zu platzieren. u+v-y
> entspricht Deinem i, also der Gesamtzahl an Sechsen in den
> drei Serien.
Vielen lieben Dank!
Ich hab die Formel nochmal für mich hergeleitet, ausgehend von den Informationen, die ich über U, V, X und Y habe. Wenn man weiß was man sucht, ist die ganze Konstruktion der Formel ziemlich leicht nachzuvollziehen. Alleine wäre ich da allerdings nie drauf gekommen. Die Aufgabe ist übrigens eine alte Klausuraufgabe...
Damit wage ich mich dann mal an die b).
Viele Grüße, Edric
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 So 20.02.2005 | | Autor: | Brigitte |
Hallo Edric!
> [mm]\left(\frac{1}{6}\right)^i\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-i}[/mm]
> >
> > Alles OK. Aber wie gesagt: i hilft meines Erachtens hier
>
> > nicht weiter.
>
> i sollte hier nur ein Platzhalter für "Anzahl Sechsen" sein
> -- sorry, dass ich es nicht dazugeschrieben habe.
Das habe ich schon bemerkt. Ich meinte aber, dass dieser Ansatz nicht weiterhilft.
> > OK, ich greife mal Deinen Ansatz von oben auf und
> > formuliere die Summe mit y. Meine Formel lautet:
> >
> [mm]P(U=u,V=v)=\sum\limits_{y=\max\{0,u-N,v-N\}}^{\min\{u,v,N\}}
{N\choose u-y}{N\choose y}{N\choose v-y}\left(\frac{1}{6}\right)^{u+v-y}\left(\frac{5}{6}\right)^{3N-(u+v-y)}[/mm]
>
> >
> >
> > Die Beschränkung für y folgt aus den Ungleichungen
> >
> > [mm]0\le x\le N\Leftrightarrow 0\le u-y\le N,[/mm]
> >
> > [mm]0\le z\le N\Leftrightarrow 0\le v-y\le N[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]0\le y\le N.[/mm]
> >
> > Die Binomialkoeffizienten sind die jeweiligen
> Möglichkeiten
> > x, y bzw. z Sechsen unter N Versuchen zu platzieren.
> u+v-y
> > entspricht Deinem i, also der Gesamtzahl an Sechsen in
> den
> > drei Serien.
>
> Vielen lieben Dank!
>
> Ich hab die Formel nochmal für mich hergeleitet, ausgehend
> von den Informationen, die ich über U, V, X und Y habe.
> Wenn man weiß was man sucht, ist die ganze Konstruktion der
> Formel ziemlich leicht nachzuvollziehen. Alleine wäre ich
> da allerdings nie drauf gekommen. Die Aufgabe ist übrigens
> eine alte Klausuraufgabe...
Puh, finde ich unverantwortlich, so eine Formel ohne Hinweis aufzustellen. Vor allem für die Korrekteure
> Damit wage ich mich dann mal an die b).
OK. Geht alles mit dem bereits Entdeckten. Einfach die Binomialverteilung für U bzw. Z ausnutzen und W=U+Z ausnutzen. Bin ab heute eine Woche in Urlaub, aber ich hoffe, dass Du das dennoch gelöst bekommst.
Viele Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Edric |
Hallo.
> Na ja, für E(UV) solltest Du die Zufallsvariablen X,Y,Z
> benutzen, denn:
>
> [mm]E(UV)=E((X+Y)\cdot(Y+Z))[/mm]
>
> Ausmultiplizieren und Ausnutzen der Informationen über
> X,Y,Z (insbesondere deren Unabhängigkeit) liefert bereits
> das Ergebnis.
Macht Sinn, das so anzupacken.
Indem ich mit cov(U, V) = EUV - EU EV rechne und Vorkommnisse von U und V jeweils ersetze, erhalte ich am Ende cov(U, V) = 0.
Damit ist dann auch [mm] \rho(U, [/mm] V) = 0.
Hoffentlich ist das mal richtig, mein mathematisches Selbstvertrauen leider in den letzten Tagen ziemlich...
Gruß, Edric
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> Hallo.
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> > Na ja, für E(UV) solltest Du die Zufallsvariablen X,Y,Z
>
> > benutzen, denn:
> >
> > [mm]E(UV)=E((X+Y)\cdot(Y+Z))[/mm]
> >
> > Ausmultiplizieren und Ausnutzen der Informationen über
>
> > X,Y,Z (insbesondere deren Unabhängigkeit) liefert bereits
>
> > das Ergebnis.
>
> Macht Sinn, das so anzupacken.
>
> Indem ich mit cov(U, V) = EUV - EU EV rechne und
> Vorkommnisse von U und V jeweils ersetze, erhalte ich am
> Ende cov(U, V) = 0.
Wie kommst Du darauf? Der Ansatz liefert bei mir
[mm]E(UV)=E((X+Y)\cdot(Y+Z))=E(XY)+E(Y^2)+E(XZ)+E(YZ)[/mm]
Da [mm] $X\sim [/mm] B(N,1/6)$ gilt $E(X)=N/6$ und
[mm]E(X^2)=Var(X)+E(X)^2=\frac{5N}{36}+\left(\frac{N}{6}\right)^2.[/mm]
Wegen der Unabhängigkeit von X,Y,Z darf man die gemischten Terme als Produkt der Erwartungswerte schreiben, also
[mm]E(UV)=E(XY)+E(Y^2)+E(XZ)+E(YZ)=3\cdot \left(\frac{N}{6}\right)^2+\frac{5N}{36}+\frac{N^2}{36}[/mm]
[mm]=\frac{N^2}{9} + \frac{5N}{36}.[/mm]
Wegen [mm] $U,V\sim [/mm] B(2N,1/6)$ gilt zudem
[mm]E(U)\cdot E(V)=\left(\frac{2N}{6}\right)^2=\frac{N^2}{9}.[/mm]
Damit ergibt sich
[mm]Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)=\frac{5N}{36}.[/mm]
> Hoffentlich ist das mal richtig, mein mathematisches
> Selbstvertrauen leider in den letzten Tagen ziemlich...
>
Sorry, Dich an dieser Stelle enttäuschen zu müssen, aber Übung macht auch hier den Meister. Nicht verzagen - im MR fragen
Viele Grüße
Brigitte
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