Wirkung von Permutationsmatri. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 So 21.10.2007 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Sei p eine Permutation von {1,2,...,n} und P die Zugehörige Permutationsmatrix. Berechne
[mm] P*\pmat{ t_{1} & & & \\ & t_{2}&&\\&&&...&\\&&&&t_{n} }*P^{-1}
[/mm]
(Hinweis: Wende das Matrizenprodukt auf den Spaltenvektor [mm] e_{i} [/mm] an.)
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Hallo,
mir ist völlig unklar, wie ich die Lösung dieser Aufgabe formal korrekt aufschreibe. Ich bin auf folgende Lösung gekommen:
Die Linksmultiplikation mit P bewirk eine beliebige Umsortierung der Zeilen. Die anschließende Rechtsmultiplikation der Produktmatrix mit [mm] P^{-1} [/mm] verschiebt die Spalten so, dass alle Einträge wieder auf der Hauptdiagonalen stehen.
D.h. letztendlich werden alle Einträge auf der Hauptdiagonalen umsortiert.
Die Frage ist: Wie lässt sich das formal korrekt darstellen, vorallem unter Beachtung des Hinweises auf den Spaltenvektor [mm] e_{i}?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Mo 22.10.2007 | | Autor: | koepper |
> Sei p eine Permutation von {1,2,...,n} und P die Zugehörige
> Permutationsmatrix. Berechne
>
> [mm]P*\pmat{ t_{1} & & & \\ & t_{2}&&\\&&&...&\\&&&&t_{n} }*P^{-1}[/mm]
>
> (Hinweis: Wende das Matrizenprodukt auf den Spaltenvektor
> [mm]e_{i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
an.)
Hallo,
betrachte als Beispiel $e_1$ und die Permutation bilde 4 auf 1 ab.
Dann wird durch $P^{-1}$ zuerst aus $e_1$ der Vektor $e_4$ erzeugt,
dann mit $t_4$ multipliziert und schließlich durch $P$ der Eintrag wieder an Position 1 zurückverschoben.
Im Ergebnis wird also durch das obige Matrizenprodukt die i-te Zeile einer Matrix mit $t_{p^{-1}(i)}$ multipliziert,
oder formal:
$P * \pmat{ t_1 \\ & t_2 \\&& \ddots \\& & & t_n} * P^{-1} * e_i = P * \pmat{ t_1 \\ & t_2 \\&& \ddots \\& & & t_n} * e_{p^{-1}(i)} = P * t_{p^{-1}(i)} * e_{p^{-1}(i)} = t_{p^{-1}(i)} * e_i}$
und damit ist
$P * \pmat{ t_1 \\ & t_2 \\&& \ddots \\& & & t_n} * P^{-1} = \pmat{ t_{p^{-1}(1)} \\ & t_{p^{-1}(2)} \\&& \ddots \\& & & t_{p^{-1}(n)}}$
Wenn das schwer nachvollziehbar ist, mach dir Beispiele mit konkreten Permutationen und einigen Einheitsvektoren.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Rutzel |
Vielen Dank.
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