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Hallo ihr Lieben!
Ich habe folgende Aufgabe zu rechnen:
Wo und unter welchem Winkel durchstößt die Gerade [mm] g:\vec{x}= \vektor{2\\-1\\2}+k*\vektor{1\\2\\-3} [/mm] die x-y-Ebene?
Dazu habe ich mir schon folgende Gedanken gemacht:
Zum Erstellen der Ebenengleichung nehme ich mir den Punkt (0/0/0) als Hinführvektor und wähle als einen Richtungsvektor einen Vektor,der nur in x-Richtung geht und als anderen Richtungsvektor einen Vektor,der nur in y-Richtung geht, dann erhalte ich die Ebenengleichung:
[mm] E:\vec{x}= \vektor{0\\ 0\\0}+l* \vektor{1\\0\\0}+m* \vektor{0\\1\\0}
[/mm]
Um den Surchstoßpumkt zu erhalten, setze ich die Ebenengleichung und die Geradengleichung gleich. Wenn ich k,l und m errechnet habe, setze ich die Ergebnisse in die jeweilige Gleichung ein und erhalte den Durchstoßpunkt [mm] S(\bruch{8}{3}/\bruch{1}{3}/0)
[/mm]
Um den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu berechnen, benötige ich den Sinus und somit die Gleichung:
sin [mm] \alpha= \vmat{\vec{n}*\vec{u}durch|\vec{n}|*|\vec{u}|}, [/mm] wobei Vektor [mm] \vec{n} [/mm] der Normalenvektor der Ebene ist und Vektor [mm] \vec{u} [/mm] der Richtungsvektor der Geraden ist.
Mein Problem ist nun, dass ich aus meiner oben aufgestellten Ebenengleichung keinen Normalenvektor herausbekomme. Bitte helft mir weiter! Habe ich bis hierhin wenigstens alles richtig gemacht oder ist mein Ansatz schon falsch? Und wenn es richtig sein sollte, wie müsste mein Normalenvektor lauten?
Vielen Dank im Voraus für die Hilfe!
Eure Maren
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Hallo MarenWulf,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Mein Problem ist nun, dass ich aus meiner oben
> aufgestellten Ebenengleichung keinen Normalenvektor
> herausbekomme. Bitte helft mir weiter! Habe ich bis hierhin
> wenigstens alles richtig gemacht oder ist mein Ansatz schon
> falsch? Und wenn es richtig sein sollte, wie müsste mein
> Normalenvektor lauten?
Der Normalenvektor muß hier lauten:
[mm]\overrightarrow n \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array} } \right)[/mm]
Ist eine Ebene in Parameterdarstellung gegeben
[mm]E:\;\overrightarrow x \; = \;\overrightarrow p \; + \;s\;\overrightarrow a \; + \;t\;\overrightarrow b [/mm]
so errechnet sich der Normalenvektor wie folgt:
[mm]
\overrightarrow n \; = \;\overrightarrow a \; \times \;\overrightarrow b \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{a_1 } \\
{a_2 } \\
{a_3 } \\
\end{array} } \right)\; \times \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{b_1 } \\
{b_2 } \\
{b_3 } \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{a_2 \;b_3 \; - \;a_3 \;b_2 } \\
{a_3 \;b_1 \; - \;a_1 \;b_3 } \\
{a_1 \;b_2 \; - \;a_2 \;b_1 } \\
\end{array} } \right)[/mm]
Gruß
MathePower
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Meine aufgestellten Richtungsvektoren (siehe ersten Beitrag) der Ebene sind [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\0}. [/mm] Wie erhält man daraus deinen Normalenvektor [mm] \vec{n}= \vektor{0\\0\\1}? [/mm] Waren meine vorherigen Berechnungen denn überhaupt richtig?
Vielen Dank im Voraus!
Maren
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Hallo MarenWulf.
> Meine aufgestellten Richtungsvektoren (siehe ersten
> Beitrag) der Ebene sind [mm]\vektor{1\\0\\0}[/mm] und
> [mm]\vektor{0\\1\\0}.[/mm] Wie erhält man daraus deinen
> Normalenvektor [mm]\vec{n}= \vektor{0\\0\\1}?[/mm] Waren meine
> vorherigen Berechnungen denn überhaupt richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
So erhält man den Normalenvektor:
[mm]
\overrightarrow n \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array} } \right)\; \times \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
1 \\
0 \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{0\; \bullet \;0\; - \;0\; \bullet \;1} \\
{0\; \bullet \;0\; - \;1\; \bullet \;0} \\
{1\; \bullet \;1\; - \;0\; \bullet \;0} \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array} } \right)[/mm]
Dies ist das sogenannte Vektorprodukt. Hier wird zu zwei gegebenen Vektoren ein dritter orthogonaler Vektor gebildet.
Die ganze Umrechnung hättest Du dir sparen können, denn den Normalenvektor erkennt man aus der Koordinatendarstellung der Ebene:
[mm]
\begin{gathered}
z\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;0\;x\; + \;0\;y\; + \;1\;z\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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