Winkel zwischen grade und eben < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich versuche im Moment den Winkel zwischen einer geraden und einer Ebene auszurechnen, aber es klappt nicht.
In der Aufgabe steht, dass ich die Winkel der Koordínatenachsen mit der ebene berechnen soll.
Nach meiner Logik müssten dann alle Winkel zusammen 180 Grad ergeben, was sie aber nicht tuhen.
Jetzt aber zu meiner Frage:
Wie berechne ich den WInkel zwischen einer Geraden und einer Ebene eigentlich?
Vielen Dank für eure Antworten.
Philipp
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Ich glaub da hat sich ein Fehler eingeschlichen
Alle Winkel können nicht 180 Grad ergeben, weil der Normalvektor der Ebene nicht durch den Ursprung läuft.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Mi 30.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
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> ich versuche im Moment den Winkel zwischen einer geraden
> und einer Ebene auszurechnen, aber es klappt nicht.
> In der Aufgabe steht, dass ich die Winkel der
> Koordínatenachsen mit der ebene berechnen soll.
> Nach meiner Logik müssten dann alle Winkel zusammen 180
> Grad ergeben, was sie aber nicht tuhen.
> Jetzt aber zu meiner Frage:
>
> Wie berechne ich den WInkel zwischen einer Geraden und
> einer Ebene eigentlich?
>
> Vielen Dank für eure Antworten.
>
> Philipp
Hallo Philipp.
Am einfachsten ist es, wenn du mit Hilfe des Kreuzproduktes einen Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Ebene bestimmst. Dann kannst du den Winkel [mm] \beta [/mm] zwischen [mm] \vec{n} [/mm] und dem Richtungsvektor der Geraden, nennen wir ihn [mm] \vec{u} [/mm] berechnen.
Das geht mit folgender Formel [mm] cos(\beta) [/mm] = [mm] \bruch{\vec{n} * \vec{u}}{|\vec{n}| |\vec{u}|}.
[/mm]
Der Schnittwinkel [mm] \alpha [/mm] zwischen der Ebene und der Geraden ist [mm] \alpha [/mm] = 90 - [mm] \beta.
[/mm]
Marius
Ach ja: Die Definition des Kreuzprod.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Marius,
danke, dass habe ich mir auch hergeleitet.
Die ebene ist mit X1-X2-2*x3=3 gegeben und ich soll die Winkel mit den Koordinatenebenen berechnen.
Als Normalvektor hab ich n=(1/-1/-2) raus und v für die Koordinatenachsen ist jeweils v=(1/0/0) v(0/1/0 und v(0/0/1)
da bekomm ich für die Winkel raus:
1. Achse mit der Ebene =80,4 Grad
2Achse******=80,4 Grad
3Achse Ebene= 70,5 Grad
Du sagtest ja ich muss 90-Winkel berechnen.
Dann wären das 9,6 für die erste Achse und die zweite Achse und 19,5 für die dritte.
Kann das mal jemand korrigieren? Ich glaube das stimmt nicht.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mi 30.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
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> danke, dass habe ich mir auch hergeleitet.
> Die ebene ist mit X1-X2-2*x3=3 gegeben und ich soll die
> Winkel mit den Koordinatenebenen berechnen.
> Als Normalvektor hab ich n=(1/-1/-2) raus und v für die
> Koordinatenachsen ist jeweils v=(1/0/0) v(0/1/0 und
> v(0/0/1)
>
> da bekomm ich für die Winkel raus:
>
> 1. Achse mit der Ebene =80,4 Grad
> 2Achse******=80,4 Grad
> 3Achse Ebene= 70,5 Grad
>
> Du sagtest ja ich muss 90-Winkel berechnen.
> Dann wären das 9,6 für die erste Achse und die zweite
> Achse und 19,5 für die dritte.
>
> Kann das mal jemand korrigieren? Ich glaube das stimmt
> nicht.
> Danke
Hmm.
Also es gilt ja: [mm] |\vec{n}| [/mm] = [mm] \wurzel{1²+(-1)² + (-2)²} [/mm] = [mm] \wurzel{6}
[/mm]
das heisst, ich komme beim ersten Winkel auf:
[mm] cos(\beta) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{6}} \Rightarrow \beta \approx [/mm] 65,9° [mm] \Rightarrow \alpha \approx [/mm] 24°
Für die 2. Achse:
[mm] cos(\beta) [/mm] = [mm] \bruch{-1}{\wurzel{6}} \Rightarrow \beta \approx [/mm] 114° [mm] \Rightarrow \alpha \approx [/mm] -24° Das heisst, dass der Spitze Winkel unterhalb der Achse liegt.
Für die 3. Achse:
[mm] cos(\beta) [/mm] = [mm] \bruch{-2}{\wurzel{6}} \Rightarrow \beta \approx [/mm] 35° [mm] \Rightarrow \alpha \approx [/mm] 54°
Hilft das weiter?
Marius
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