Winkel im Tetraeder < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist ein Tetraeder mit den Ecken A, B, C, D.
Unter welchem Winkel ist die Kante AD zur Fläche ABC geneigt? |
Hey,
geht um oben genannte Aufgabe. Wir machen das gerade im Zusammenhang mit dem Schnittwinkel von Geraden und Ebenen, also hab ich versucht, eine allgemeine Geradengleichung für die Kante AD und eine allgemeine Ebenengleichung für die Fläche ABC aufzustellen und wie für jede andere Gerade und Ebene auch den Schnittwinkel zu berechnen. Das hat allerdings nicht wirklich zum Erfolg geführt.
Wie genau gehe ich dann daran? Einfach mit Vektoren oder wie?
Vielen Dank :)
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Hallo, einfacher ist die Trigonometrie, berechne die Höhe [mm] h_g [/mm] der Grundfläche, berechne die Höhe h des Tetraeders, die Kantenlänge beträgt a, dann den Winkel Steffi
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Hallo,
was genau ist denn der Unterschied zwischen der Höhe der Grundfläche und der des Tetraeders?
Möglich ist, dass es so einfacher geht, aber ich bin ziemlich sicher, dass wir die Aufgabe mit den Mitteln der analytischen Geometrie lösen sollen. :)
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Hallo Lauschgift,
> was genau ist denn der Unterschied zwischen der Höhe der
> Grundfläche und der des Tetraeders?
Die Höhe der Grundfläche ist einfach die Höhe innerhalb eines (gleichseitigen) Dreiecks. Die Höhe des Tetraedes ist die Lotlinie von einer Ecke auf die gegenüberliegende Fläche. Sie verläuft vollständig im Innern des Tetraeders und durch dessen Mittelpunkt.
> Möglich ist, dass es so einfacher geht, aber ich bin
> ziemlich sicher, dass wir die Aufgabe mit den Mitteln der
> analytischen Geometrie lösen sollen. :)
Dann nimm den Tipp von Al.
Hier z.B. ein einfaches Tetraeder aus vier von acht Würfelecken:
(1,1,1)
(-1,-1,1)
(1,-1,-1)
(-1,1,-1)
Es hat die Kantenlänge [mm] 2\wurzel{2}.
[/mm]
Grüße
reverend
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> Gegeben ist ein Tetraeder mit den Ecken A, B, C, D.
> Unter welchem Winkel ist die Kante AD zur Fläche ABC
> geneigt?
> Hey,
>
> geht um oben genannte Aufgabe. Wir machen das gerade im
> Zusammenhang mit dem Schnittwinkel von Geraden und Ebenen,
> also hab ich versucht, eine allgemeine Geradengleichung
> für die Kante AD und eine allgemeine Ebenengleichung für
> die Fläche ABC aufzustellen und wie für jede andere
> Gerade und Ebene auch den Schnittwinkel zu berechnen. Das
> hat allerdings nicht wirklich zum Erfolg geführt.
>
> Wie genau gehe ich dann daran? Einfach mit Vektoren oder
> wie?
>
> Vielen Dank :)
Wenn du die Aufgabe mittels Vektorgeometrie lösen
willst (Ebenengleichung, Geradengleichung), so gibt
es eine elegante Methode, um mit "schönen" Zahlen
rechnen zu können. Lege einen Würfel ABCDEFGH
mit der Kantenlänge 1 in ein Koordinatensystem und
beachte, dass z.B. die Eckpunkte A,C,E und G die
Eckpunkte eines regelmäßigen Tetraeders sind.
In der Aufgabenstellung fehlt übrigens die wichtige
Angabe, dass mit "Tetraeder" ein regelmäßiges
Tetraeder gemeint ist !
LG Al-Chw.
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Vielen Dank für die Tipps, habe es nun mit dem Würfeltrick probiert und komme auf einen Winkel von glatten 30°, ist das realistisch?
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> Vielen Dank für die Tipps, habe es nun mit dem
> Würfeltrick probiert und komme auf einen Winkel von
> glatten 30°, ist das realistisch?
Nein, das ist viel zu klein, und der resultierende
Winkel ist nicht so schön "rund".
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Lauschgift |
Ah, habe den Fehler gefunden und jetzt einen Winkel von ca. 54,7° raus, was schon eher stimmen dürfte. Vielen Dank für die Antworten :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Mo 09.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Ah, habe den Fehler gefunden und jetzt einen Winkel von ca.
> 54,7° raus, was schon eher stimmen dürfte. Vielen Dank
> für die Antworten :)
Viel besser.
Da bist Du mit ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia einer Meinung.
Grüße
reverend
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