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Winkel berechnen: Diagonale eines Würfels
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:50 Do 25.06.2015
Autor: Jura86

Aufgabe
Berechnen Sie die Winkel, die die Diagonale eines Würfels zu einer Seitenfläche bzw. zu einer anliegenden Kante bildet. Welche Rolle spielt dabei die Kantenlänge des Würfels?

Ich habe hier folgendes gemacht :

1. Punkte bestimmt / gewählt
A = (0,0,0)
B = ( 0,1,0)
C = ( 0,0,1)
E = (1,0,1)
H = ( 1,1,1)

2. Vektoren bestimmt :

a = [mm] \overrightarrow{AE} [/mm] = E-A = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

b = [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = B-A = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm]

c = [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = C-A = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]

d= [mm] \overrightarrow{AH} [/mm] = H-A = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]


Winkel zwischen den Vektoren :

         Skalarprodukt :
[mm] \vec{a}*\vec{d} [/mm] = 1

[mm] \vec{b}*\vec{d} [/mm] = 1

[mm] \vec{c}*\vec{d} [/mm]  = 1  
                                

           Betrag :

|a|=1
|b|=1
|c|=1
[mm] |d|=\wurzel{3} [/mm]

Winkel [mm] \alpha [/mm]  Zwischen den Vektoren :

a und d = 54,54°
b und d = 54,54°
c und d = 54,54°



        
Bezug
Winkel berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Do 25.06.2015
Autor: M.Rex

Hallo

Müsst ihr das wirklich per Vektorrechnung machen?

> Berechnen Sie die Winkel, die die Diagonale eines Würfels
> zu einer Seitenfläche bzw. zu einer anliegenden Kante
> bildet. Welche Rolle spielt dabei die Kantenlänge des
> Würfels?
> Ich habe hier folgendes gemacht :

>

> 1. Punkte bestimmt / gewählt
> A = (0,0,0)
> B = ( 0,1,0)
> C = ( 0,0,1)
> E = (1,0,1)
> H = ( 1,1,1)

>

> 2. Vektoren bestimmt :

>

> a = [mm]\overrightarrow{AE}[/mm] = E-A = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]

>

> b = [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = B-A = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]

>

> c = [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = C-A = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]

>

> d= [mm]\overrightarrow{AH}[/mm] = H-A = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]

>
>

> Winkel zwischen den Vektoren :

>

> Skalarprodukt :
> [mm]\vec{a}*\vec{d}[/mm] = 1

>

> [mm]\vec{b}*\vec{d}[/mm] = 1

>

> [mm]\vec{c}*\vec{d}[/mm] = 1

>
>

> Betrag :

>

> |a|=1
> |b|=1
> |c|=1
> [mm]|d|=\wurzel{3}[/mm]

>

> Winkel [mm]\alpha[/mm] Zwischen den Vektoren :

>

> a und d = 54,54°
> b und d = 54,54°
> c und d = 54,54°

Das ist soweit ok, damit hast du den Winkel zwischen den Kanten und der Diagonale.
Berechne nun noch den Winkel zwischen der Seitenfläche und der Raumdiagonalen. Beachte dabei, dass der Vektor [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] ein Normalenvektor der Ebene durch die Punkte A,B,E und F ist.

Wenn du also den Winkel zwischen dem Vektor [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] und dem Vektor [mm] \overrightarrow{AH} [/mm] berechnest, hast du den zu 90° fehlenden Winkel der Diagonalen zur Seitenfläche.

Überlege nun mal noch, ob die Seitenlänge bei einem Würfel für die Winkel relevant ist.

Marius

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