Wiles'Beweis der Fermatvermutu < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Di 30.11.2010 | | Autor: | ruebli |
| Aufgabe | Der Wiles'sche Beweis der Fermat'schen Vemutung besteht in der Darstellung eines Widerspruches beim Existenzbeweis einer
Kurve K,die genau dann existiert,wenn die Fermat'sche Vermutung falsch ist.Genau dann tritt aber ein Widerspruch in der
Topologie von K auf (vorausgesetzt K liegt in einer Ebene),was dem Sinn eines Beweises widerspricht. |
1. K sei eine zusammenhängende Teilmenge einer Ebene E,die genau dann existiert,wenn die Fermat'sche Vermutung falsch ist.
2. K'sei eine Variante von K,die sich so verhält,als wäre die Fermat'Vermutung richtig,unabhängig von deren Wahrheit.
3. K' soll mit denselben Begriffen formuliert werden wie K: E als zweidimensionaler euklidischer Raum,zusammenhängend
und der damit verbundene Disjunktionsbegriff(offene zusammenhängende Mengen können nicht disjunkt sein)und die
Fermat'sche Vermutung,die folgendermassen definiert wird:
4.1 Gegeben seien drei Mengen a,b,c von jeweils n gleichen allgemeinen natürlichen Zahlen:
a=(a(1),..a(n)), (a(1)=....=a(n)), b=(b(1),..b(n)), (b(1)=...=b(n)), c=(c(1),..c(n)), (c(1)=..=c(n))
Die Mengen a,b,c werden paarweise zusammengefasst:ab,ac,bc.Alles folgende gilt für alle Paare gemeinsam,ausgeführt
wird es nur für ab.
4.2 Sind a und b nur zwei verschiedene Bezeichnungen für ein und dieselbe Menge gilt:Alle Zahlen aus a erfüllen gegenüber
allen aus b alle notwendigen Bedingungen für Identidät(wegen deren Gleichheit und Vertauschbarkeit),die hinreichende
aber gegenüber jeweils einer.Verzichtet man auf die Gleichheit von a und b gibt es keine hinreichende Bedingung
für Identidät dafür aber einen Einstieg zur Formulierung der Fermat'schen Vermutung:
5. Erfüllen alle Zahlen von a gegenüber allen von b alle notwendigen Bedingungen für Identidät,ausser der Gleichheit
von Zahlen,existiert für sie eine Aussage F,die widerpruchsfrei für n=1 und n=2 ist,für alle grösseren n aber nicht.
6. Eine arithmetische Ausformulierung von F würde zur Fermat'schen Vermutung führen,was hier nicht weiter verfolgt wird
andererseits zu K',wenn man F topologisch interpretiert.Wegen (3) gibt es nur eine Interpretationsmöglichkeit:
7. Alle Zahlen aus a und b werden als Flächennhalt einer zusammenhängenden Teilmenge von E interpretiert.
Zwei solcher Teilmengen,als Träger von Zahlen,die alle notwendigen Bedingungen für Identiät(nach 4.2)erfüllen,
sind selbst zusammenhängend.
F sei die Disjunktion aller Mengen.
8. Die Darstellung von (7) ist eine bekannte Denksportaufgabe:Zwei Mengen a,b von je n Länder,sollen in einer
Landkarte so gezeichnet werden,dass jedes von a mit jedem von b eine gemeinsame Grenze hat.Lösbar ist das nur
für n=1 und n=2.
9. Die Anordnung der Mengen nach (7) und (8) erfüllen alle Bedingungen,die für K' in (2) und (3) gefordert werden.
Der Zusammenhang von Zahl und Flächeninhalt ergibt sich aus der Metrik von E und sonst werden nur Begriffe
verwendet,die auch in K vorkommen.Dennoch ist K'nicht implizit in der Definition von K enthalten.Das kann man
aber ändern,wenn man K' zur Charakterisierung der Dimensionszahl von E verwendet.
10.E ist als zweidimenionaler euklidischer Raum definiert.Man könnte den Begriff zweidimensional durch die Forderung
ersetzen,dass K' im Sinne von (8) darstellbar ist,was nur im zweidimensionalen Raum möglich ist.Damit wäre K'
in der Definition von K enthalten und es ergibt sich folgende Situation:
11.In der Definition von K kommt F zweimal vor:Einmal als Kurve,die genau dann existiert,wenn die Fermat'sche
Vermutung und damit F falsch ist und dann als Charakterisierung von E,für die sie richtig sein muss.In der
Definiton von K tritt auf jeden Fall ein Widerspruch auf,ob die Fermat'sche Vermutung richtig ist oder nicht.
12.Damit komme ich zu meiner Frage:Das Auftreten eines Widerspruches in der Definition von K macht meiner Meinung
nach einen Schluss aufdie Fermat'sche Vermutung unmöglich.Welchen Fehler mache ich hier?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Di 30.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Der Wiles'sche Beweis der Fermat'schen Vemutung besteht in
> der Darstellung eines Widerspruches beim Existenzbeweis
> einer
> Kurve K,die genau dann existiert,wenn die Fermat'sche
> Vermutung falsch ist.Genau dann tritt aber ein Widerspruch
> in der
> Topologie von K auf (vorausgesetzt K liegt in einer
> Ebene),was dem Sinn eines Beweises widerspricht.
> [...]
> 12.Damit komme ich zu meiner Frage:Das Auftreten eines
> Widerspruches in der Definition von K macht meiner Meinung
> nach einen Schluss aufdie Fermat'sche Vermutung
> unmöglich.Welchen Fehler mache ich hier?
Ich frage mich, was das alles mit dem Beweis zu tun haben soll.
Der Beweis geht doch ganz einfach:
1) Angenommen, der Satz von Fermat ist falsch. Dann gibt es $a, b, c [mm] \in \IZ$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge [/mm] 3$ mit $a b c [mm] \neq [/mm] 0$ und [mm] $a^n [/mm] + [mm] b^n [/mm] = [mm] c^n$.
[/mm]
2) Demnach existiert die Frey-Kurve [mm] $y^2 [/mm] = x (x - [mm] a^n) [/mm] (x + [mm] b^n)$, [/mm] und diese ist nicht modular.
3) Laut dem Beweis von Wiles und Taylor sind jedoch alle elliptischen Kurven ueber [mm] $\IQ$ [/mm] modular.
Deswegen kann die Frey-Kurve nicht existieren, womit der Satz von Fermat wahr sein muss. Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Mi 01.12.2010 | | Autor: | PeterB |
Ich wollte nur noch eine Vermutung äußern, was da durcheinander geht:
Ich denke dass in einer Beschreibung des Beweises ein E vorkommt, dass steht aber für eine elliptische Kurve und nicht für die euklidische Ebene. Dafür spricht, dass in 3. so etwas wie eine irreduzible Zariski Topologie auf K beschrieben wird.
Ich denke, wenn man nicht sehr viel Ahnung von Zahlentheorie hat (etwa auf dem Niveau eines Diplomanden, der sich in diese Richtung spezialisiert hat) , dann ist es echt hart bessere Einblicke in die Beweise der Schritte 2 und 3 zu gewinnen. Und selbst zu verstehen, was es heißt, dass eine elliptische Kurve modular ist, erfordert das Verständnis einiger Begriffe die nicht allen Mathematik Absolventen geläufig sind. Leider für das dazu das populäre Beschreibungen des Beweises sehr ungenau sind und nur selten einen wirklichen Einblick geben.
Gruß
Peter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:07 Mi 29.12.2010 | | Autor: | ruebli |
| Aufgabe | Interpretation der Freykurve als Sonderfall einer allgemeinen Klasse von Punktmengen folgender Definition:
1.K sei eine zusammenhängende Teilmenge eines euklidischen Raumes E.
2.K existiere genau dann,wenn die Fermat'sche Vermutung(im folgenden kurz F bezeichnet)falsch ist.
3.Die Dimensionszahl von E werde durch eine ihrer Teilmengen K'bestimmt,die folgendermassen definiert sei:(4 und 5)
4.Bei der Formulierung von K werde K' indirekt mitformuliert,da Teile der arithmatischen Aussagen von K topologisch
interpretierbar sind mit Hilfe der in K vordefinierten Begriffe.
5.Mit K' sei eine Widerspruchsaussage verbunden,für all diejenigen Zahlen ,für die F dies verlangt,für alle andern nicht.
Ich habe mich bemüht zu zeigen,dass K' tatsächlich existiert,aber nur,wenn E eine Ebene ist.Damit kann für K
folgende Feststellung getroffen werden:Mit einem Existenzbeweis von K ist in jedem Fall eine Widerspruchsaussage
für diejenigen Zahlen verbunden,für die F dies verlangt:Bei Nichtexistenz von K aus K und K',bei Existenz von K
aus K' allein.
Die Freykurve ist ein Sonderfall von K bei dem die Obermenge E als Ebene anders definiert ist,wie in der
allgemeinen Version,diese aber als implizit enhalten angesehen wird.Damit könnte eine Widerspruchsaussage
für alle Zahlen,für die F dies verlangt,auch hier aus E abgeleitet sein.Um dies zu vermeiden,müsste ein
Existenzbeweis für die Freykurve auf die Verwendung topologischer Eigenschaften der Ebene,die diese auch
charakterisieren,verzichtet werden,wovon im Wiles' Beweis aber keine Rede sein kann. |
Der Wiles'sche Beweis stellt mit der ihm eigenen Terminologie eine Unmöglichkeitsaussage für alle Zahlen dar,
für die F dies verlangt und frage deshalb:Was hindert mich daran,daraus nicht nur den Satz "Die Freykurve existiert nicht"
abzuleiten,sondern alternativ dazu "Die Freykurve liegt in einer Ebene"?
Ich möchte mich bei Felix und Peter für ihre Mühe herzlich bedanken,auch wenn es mir nicht gelungen ist mein Anliegen
deutlich zu machen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Sa 29.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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