Wieviel Flaschen Wodka... ? < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 16:44 Do 10.06.2004 | | Autor: | Bahamas |
Ich war einkaufen und habe insgesamt 100 Flaschen, Wodka, Wein und Bier, geholt. Der Wodka kostete 10,00 pro Flasche , der Wein 3,00 pro Flasche und pro Flasche Bier habe ich 0,50 gezahlt.
Zusammen habe ich 100,00 ausgegeben.
Wieviel Flaschen von jedem Getränk habe ich gekauft ?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Sa 12.06.2004 | | Autor: | pierre |
> Ich war einkaufen und habe insgesamt 100 Flaschen, Wodka,
> Wein und Bier, geholt. Der Wodka kostete 10,00 pro Flasche
> , der Wein 3,00 pro Flasche und pro Flasche Bier habe ich
> 0,50 gezahlt.
> Zusammen habe ich 100,00 ausgegeben.
>
> Wieviel Flaschen von jedem Getränk habe ich gekauft ?
Ich denke mal, es gibt 2 Möglichkeiten.
Die Eine ist, du hast gar kein Wodka gekauft ==> 20 Flaschen Wein und 80 Flaschen Bier
Anderenfalls hast du 5Flaschen Wodka, 1 Flasche Wein und 94 Flaschen Bier gekauft.
MfG, pierre
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 So 13.06.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Pierre,
ich würde sagen: perfekte Lösung :))) Konstruktiv gelöst oder durch probieren? Wenn Du willst kannst Du auch gerne Deinen Lösungsweg hier posten, dann haben auch diejenigen etwas davon, die mt der Aufgabe nicht zurecht gekommen sind ...
Schönes Wochenende
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 So 13.06.2004 | | Autor: | pierre |
Hallo Oliver
Tja, es ist so halb konstruktiv gelöst. Ich habe 2 Gleichungen aufgestellt:
(x=Wodka, y=Wein und z=Bier)
I: x+y+z=100 (alle 3 Sorten zusammen ergeben 100 Flaschen)
II: x*10+y*3+z*0.5=100 (anzahl Flaschen * Preise =100 Euro)
Da der Wodka am teuersten ist, habe ich x gewählt und mit I+II y und z berechnet...
Wie würde es komplett mathematisch gehen?
Ebenfalls ein schönes Wochenende
MfG, pierre
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 So 13.06.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Pierre,
> Tja, es ist so halb konstruktiv gelöst. Ich habe 2
> Gleichungen aufgestellt:
> Wie würde es komplett mathematisch gehen?
So habe ich es auch gelöst. Du landest dann z.B. bei
$z=80+2,8 x$
und hier kommt jetzt die implizite Voraussetzung ins Spiel, dass $x$, $y$ und $z$ ganzzahlig und nichtnegativ sein müssen. Da $x$ nur Werte von $0$ bis $10$ annehmen kann und $2,8 x$ ganzzahlig sein muss, muss x entweder $0$, $5$ oder $10$ betragen. $10$ fällt weg (da dies zu negativem y führen würde) und für $0$ bzw. $5$ bekommst Du die von Dir erhaltenen Lösungen.
Solche Aufgaben müssten sich mit Methoden der ganzzahligen Optimierung eigentlich auch lösen lassen, aber das wäre hier wie mit Kanonen auf Spatzen zu schießen.
Bye
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 So 13.06.2004 | | Autor: | Josef |
Hallo pierre.
die Aufgabe kannst du auch wie folgt lösen:
Wodka = x zu 10 Euro
Wein = y zu 3 Euro
Bier = z zu 0,5 Euro
I.: = 10x + 3y + 0,5z = 100
II: = x + y + z = 100
Gleichung I machen wir ganzzahling, indem wir die Gleichung mit 2 multipliziern, damit z ganzzahling wird:
I.: 20x + 6y + z = 200
II: x + y + z = 100
Wir bilden die Differenz von Gleichung I und II und erhalten:
19x + 5 y = 100
Wir suchen nun alle ganzzahlingen positiven Lösunen dieser Gleichung.
Der Trick besteht darin, die Gleichung immer wieder nach dem Glied mit dem kleinsten Koeffizienten aufzulösen:
Das ist hier 5y.
[mm]y = \bruch{100-19x}{5}[/mm] = 20-3x-[mm](\bruch{4}{5})x[/mm]
Damit y ganzzahlig ist, muss x Vielfaches von 5 sein. Wir setzen also x = 5k
und setzen dies in obige Gleichung ein:
y = 20-15k-4k
y = 20-19k
Diese Gleichung macht es aber nun einfach, alle Lösunggen des Problems zu überschauen:
Wenn wir für K = 1 nehmen, erhalten wir:
y = 20-(19*1)
y = 20-19
y = 1
x = 5
(x muss Vielfaches von 5 sein; siehe obige Gleichung)
wir erinnern uns an die Gleichung: x+y+z=100
und setzen die bekannten Zahlen ein:
5+1+z = 100
z = 94
Nun steht das erste Ergebnis fest:
es sind 5 Flaschen Wodka zu 10 Euro = 50 Euro
es sind 1 Flasche Wein zu 3 Euro = 3 Euro
es sind 94 Flaschen Bier zu 0,50 Euro = 47 Euro
Da K = 2 bereits über 20 liegt (y=20-(19*2), scheidet K=2 aus. K muss also kleiner sein. Das kann nur 0 sein.
y = 20-(19*0)
y = 20
wir erinnern uns: x = 5k,
da k = 0 ist, muss x auch = 0 seiin.
x = 5*0
x = 0
0+20+z = 100
z = 80
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 So 13.06.2004 | | Autor: | pierre |
Hallo Josef
Vielen Dank für die ausführliche Erläuterung. So weit habe ich gar nicht gedacht.
Wünsche Dir noch einen schönen Sonntag Abend.
MfG pierre
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