Wie viele Möglichkeiten? < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Mi 16.03.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | ch hab 3 mal einen Zugwagon der 1. Klasse, 5 mal einen der 2. Klasse und 2 Gepäckwägen der gleichen Bauart weshalb sie nicht unterscheidbar sind.
a) Nun möchte ich wissen, wie viele unterschiedliche Wagenfolgen möglich sind, wenn die Wagons beliebig eingereit werden dürfen.
b) Hier möchte ich wissen, wie viele unterschiedliche Wagenfolgen möglich sind, wenn die Wagons der 2. Klasse hintereinander eingereiht werden MÜSSEN. |
Ich weiß da jetzt leider nicht so wirklich weiter. Könnt ihr mir helfen? Ich weiß auch nicht so recht was es bedeutet, wenn es heißt, dass diese "nicht unterscheidbar" sind...
Meine mögliche Lösung zu a):
9! = 326880
Meine mögliche Lösung zu b)
5! = 120
Könnt ihr mir helfen?
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Hallo!
> ch hab 3 mal einen Zugwagon der 1. Klasse, 5 mal einen der
> 2. Klasse und 2 Gepäckwägen der gleichen Bauart weshalb
> sie nicht unterscheidbar sind.
>
> a) Nun möchte ich wissen, wie viele unterschiedliche
> Wagenfolgen möglich sind, wenn die Wagons beliebig
> eingereit werden dürfen.
>
> b) Hier möchte ich wissen, wie viele unterschiedliche
> Wagenfolgen möglich sind, wenn die Wagons der 2. Klasse
> hintereinander eingereiht werden MÜSSEN.
> Ich weiß da jetzt leider nicht so wirklich weiter. Könnt
> ihr mir helfen? Ich weiß auch nicht so recht was es
> bedeutet, wenn es heißt, dass diese "nicht unterscheidbar"
> sind...
> Meine mögliche Lösung zu a):
>
> 9! = 326880
Nein, das stimmt nicht. Du beachtest nicht, dass manche Wagen nicht unterscheidbar sind. Damit ist gemeint, dass du die Wagen der 1. Klasse nicht voneinander unterscheiden kannst, dass du die Wagen der 2. Klasse nicht voneinander unterscheiden kannst und dass du die beiden Gepäckwagen nicht unterscheiden kannst. Das kannst du dir vereinfacht so vorstellen, dass du sie nur an einer 1, einer 2 oder einem G erkennen kannst:
1 - 1 - 1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - G - G
Wenn du jetzt die beiden ersten Wagen vertauschen würdest, käme wieder dieselbe Reihenfolge heraus, weil du die Wagen der 1. Klasse nur an der 1 erkennst und nicht unterscheiden kannst.
Wenn du nun also sagst, die Lösung wäre 10!, weil es 10 Wagen sind, dann ist das falsch, denn du zählst damit viel zu viele Lösungen doppelt, zum Beispiel eben wären bei dir
1 - 1 - 1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - G - G
und
1 - 1 - 1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - G - G
zwei verschiedene Lösungen (bei der zweiten Reihenfolge sind die ersten beiden Wagen vertauscht worden).
Es gibt für solche Aufgaben eine spezielle Formel. Sie lautet:
Hat man insgesamt n Objekte, und zwar [mm] $n_1$ [/mm] von einem Typ, [mm] $n_2$ [/mm] von einem anderen Typ und [mm] $n_3$ [/mm] von noch einem anderen Typ usw., dann lautet die Anzahl der möglichen Anordnungen in einer Reihe:
[mm] $\frac{n!}{n_1 ! * n_2 ! * n_3 ! * ... * n_k !}$
[/mm]
> Meine mögliche Lösung zu b)
Dafür solltest du dir überlegen: Du hast 10 Wagenplätze
x x x x x x x x x x
und eine "Kette" von 5 Zweiklasse-Wagen.
1. Wieviele Möglichkeiten gibt es, diese Kette in der Reihe zu platzieren?
2. Wenn du eine spezielle Platzierung der Zweiklasse-Wagen gewählt hast, wie viele Möglichkeiten hast du dann für die restlichen Wagen? (siehe Idee bei a) )
1. und 2. ergeben dann multipliziert das Ergebnis. Ist dir klar, warum?
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 16.03.2011 | | Autor: | bandchef |
zu a)
Dann sollte das so stimmen:
[mm] $\frac{10!}{2!}=1814400$
[/mm]
zu b)
Die Reihe der 2. Klasse kann ich auf 3 verschiedene Arten anordnen. Also wäre das bei dir eingführten Nummerierung: 1. -> 3
Wie gehts ab da jetzt weiter?
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Hallo,
> zu a)
>
> Dann sollte das so stimmen:
>
> [mm]\frac{10!}{2!}=1814400[/mm]
>
Nein, ich verstehe nicht wie du darauf gekommen bist. Es gibt 3 Wagen der ersten Klasse: [mm] $n_1 [/mm] = 3$
Es gibt 5 Wagen der zweiten Klasse: [mm] $n_2 [/mm] = 5$
Und es gibt zwei Gepäckwagen: [mm] $n_3 [/mm] = 2$.
> zu b)
>
> Die Reihe der 2. Klasse kann ich auf 3 verschiedene Arten
> anordnen. Also wäre das bei dir eingführten Nummerierung:
> 1. -> 3
Wieso denn nur auf drei verschiedene Weisen?
x x x x x x x x x x
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
Welche Möglichkeit davon ist deiner Meinung nach keine, wenn du nur auf drei Möglichkeiten kommst?
Überlege dir danach, wie viele Möglichkeiten du zum Beispiel bei der Anordnung
2 2 2 2 2 x x x x x
noch für die 3 Wagen der ersten Klasse und die beiden Gepäckwagen hast.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mi 16.03.2011 | | Autor: | bandchef |
zu a)
Hm, du hast Recht, das sieht dann so aus:
[mm] $\frac{10!}{3! \cdot 5! \cdot 2!}=2520$
[/mm]
Das wären dann die Möglichkeiten der Anordnung, wenn die Gepäckwägen nicht unterscheidbar sind, oder?
zu b)
Du hast Recht, dass es 5 verschiedene Mögl. gibt die 5er-Kette anzuordnen. Wie aber geht das dann weiter?
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Hallo!
> zu a)
>
> Hm, du hast Recht, das sieht dann so aus:
>
> [mm]\frac{10!}{3! \cdot 5! \cdot 2!}=2520[/mm]
> Das wären dann die Möglichkeiten der Anordnung, wenn die
> Gepäckwägen nicht unterscheidbar sind, oder?
Ja. und wenn auch die anderen Wagen (1. Klasse unter sich, 2. Klasse unter sich) in der von mir beschriebenen Form nicht unterscheidbar sind.
> zu b)
>
> Du hast Recht, dass es 5 verschiedene Mögl. gibt die
> 5er-Kette anzuordnen.
Ich zähle 6.
> Wie aber geht das dann weiter?
Das habe ich schon oben gesagt! Nimm als Beispiel
2 2 2 2 2 x x x x x
Dann hast du noch 5 freie Plätze, und dir stehen 2 Gepäckwagen und 3 Wagen 1. Klasse zur Verfügung. Nutze wieder die Formel wie aus a) !
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 16.03.2011 | | Autor: | bandchef |
nochmal zu a)
Stimmt jetzt das Ergebnis von 2520 Möglichkeiten für den Fall, dass NUR die beiden Gepäckwägen nicht unterscheidbar sind, oder für einen anderen Fall?
zu b)
Wenn ich hier nun die Formel aus a) nutzen soll sieht das dann bei mir so aus:
$ [mm] \frac{5!}{2!+3!}=15$
[/mm]
Ist das so richitg?
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Hallo bandchef,
> nochmal zu a)
>
> Stimmt jetzt das Ergebnis von 2520 Möglichkeiten für den
> Fall, dass NUR die beiden Gepäckwägen nicht
> unterscheidbar sind, oder für einen anderen Fall?
>
Das ist nur für den Fall, dass die Wagen 1. Klasse, Wagen 2. Klasse
und die Gepäckwagen nicht unterscheidbar sind.
>
> zu b)
>
> Wenn ich hier nun die Formel aus a) nutzen soll sieht das
> dann bei mir so aus:
>
> [mm]\frac{5!}{2!+3!}=15[/mm]
>
> Ist das so richitg?
Nein, das ist nicht richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mi 16.03.2011 | | Autor: | bandchef |
zu a)
Dann ist das aber eigentlich noch gar nicht das was ich haben will. Ich will ja, das nur die Gepäckwägen nicht unterscheidbar sind, alle anderen aber schon. Wie geht das dann?
Sieht das dann so aus: [mm] $\frac{10!}{2!}$
[/mm]
zu b)
Wenn das nun falsch ist, was ist falsch bzw. was kann ich besser machen?
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Hallo bandchef,
> zu a)
>
> Dann ist das aber eigentlich noch gar nicht das was ich
> haben will. Ich will ja, das nur die Gepäckwägen nicht
> unterscheidbar sind, alle anderen aber schon. Wie geht das
> dann?
>
> Sieht das dann so aus: [mm]\frac{10!}{2!}[/mm]
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu b)
>
> Wenn das nun falsch ist, was ist falsch bzw. was kann ich
> besser machen?
Es gibt 6 Möglichkeiten die Wagen 2. Klasse hintereiander einzureihen.
Damit stehen nur noch 5 Plätze zur Auswahl.
Jetzt kommt es darauf an, ob die Gepäckwagen
weiterhin nicht unterscheidbar sind, dann benutze
die Formel aus a)
Sind sie dagegen unterscheidbar, dann geht das etwas anders.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mi 16.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn also jetzt nur noch 5 Plätze zur Auswahl stehen und an der unterscheidbarkeit NICHTS geändert wird (also, die Gepäckwägen lassen sich nicht unterscheiden; alle anderen schon!) dann muss ich wieder die Formel von oben einsetzen.
Meine gesamt Anzahl ist ja dann jetzt nur noch 5!. Das steht dann im Zähler der Formel. Aber: Wie setzt sich dann der Nenner zusammen? Ich hab ja nur noch drei erste Klassen und 2 Gepäckwägen...
Kannst du mir da nochmal draufhelfen?
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Hallo bandchef,
> Wenn also jetzt nur noch 5 Plätze zur Auswahl stehen und
> an der unterscheidbarkeit NICHTS geändert wird (also, die
> Gepäckwägen lassen sich nicht unterscheiden; alle anderen
> schon!) dann muss ich wieder die Formel von oben
> einsetzen.
>
> Meine gesamt Anzahl ist ja dann jetzt nur noch 5!. Das
> steht dann im Zähler der Formel. Aber: Wie setzt sich dann
> der Nenner zusammen? Ich hab ja nur noch drei erste Klassen
> und 2 Gepäckwägen...
Da die Gepäckwagen nicht unterscheidbar sind,
gilt für die letzten 5 Plätze:
[mm]\bruch{5!}{2!}[/mm]
>
> Kannst du mir da nochmal draufhelfen?
Gruss
MathePower
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