Wie schreibt ich es auf? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Hab folgende Aufgabe:
Zeigen sie:
(i) Für x > 1 gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x^{n} [/mm] = + [mm] \infty
[/mm]
Wie schreibe ich es auf?
Ich hab mir gedacht:
x = 1
[mm] 1^{n} \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 1
x = 2
[mm] 2^{n} \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
Reicht das oder wie würdet ihr es schreiben?
Das selbe gilt für
(ii) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^{n} [/mm] = + [mm] \infty
[/mm]
Danke im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo spacephreak!
Also, das was du da jetzt aufgeschrieben hast, macht leider keinen Sinn.
Gibt es einen Link auf euer Skript? Wir wissen sonst nämlich nicht, was wir voraussetzen dürfen. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Was habt ihr bisher zu Grenzwerten gemacht?
Viele Grüße
Stefan
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Hm hättest einfach schreiben sollen wie du denkst, die Aufgabenstellung war vollständig. Hier nen link zum skript: ftp://www.inf.fh-dortmund.de/pub/professors/cleven/kapitel2.pdf
wieso ergibt meins kein sinn? also für mich schon:) ich verstehe die aufgabe auch, nur ist die aufschrift mein problem.
hier mal meine lösung die ich formulieren möchte:
Für x=1 hoch irgend eine postive ganzahl ist immer 1.
Für x=2 hoch immer eine größere zahl wird auch immer größer somit unendlich
Und das gilt auch für jedes x>1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Natürlich genügt es nicht einfach $x=2$ einzusetzen, das sollte klar sein. Was ist denn sonst zum Beispiel mit $x=1,5$?
Die Antwort bleibt leider unbrauchbar, tut mir leid.
Viele Grüße
Stefan
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Achso, da muss man einfach eine vollständige Induktion machen?
Wenn du jetzt ja sagst, dann weiß ich auch wie ich das zu schreiben habe.:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, da es sich um eine Aussage über eine Teilmenge der reellen Zahlen (und nicht etwa der natürlichen Zahlen) handelt, bringt eine Induktion nichts.
Orientiere dich bitte an meinem Tipp.
Viele Grüße
Stefan
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Na ja, zumindest hat es etwas mit Induktion zu tun, sonst würde es glaube ich auch nicht 1.2.3 sein, wenn 1.2 Vollständige Induktion ist. Aber ich glaube ich weiß jetzt bescheid, ich poste(zumindest versuche ich es) die Antwort später mal hier rein.
Danke erstmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, es hat nichts mit Induktion zu tun. Die Bernoullische Ungleichung, die du jetzt verwenden sollst, wurde nur mit Induktion bewiesen. Das hat aber mit der Aufgabe nichts zu tun.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:27 Do 21.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Spacefreak,
es ist genauso, wie Stefan es sagt!
Hier habe ich den Beweis mal angefangen, falls du nicht weiterkommen solltest:
https://matheraum.de/read?i=20479
Liebe Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Satz 1.2.3 in eurem Skript (Bernoullische Ungleichung) führt dich direkt zum Ziel. 
Vielleicht hat ja jemand die Zeit das weiter auszuführen? Vielleicht ein anderer Student, zur Übung?
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen sie:
> (i) Für x > 1 gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x^{n}[/mm]=+[mm]\infty[/mm]
Ich mache jetzt einfach mal den Anfang (und denke bitte daran, dass in der Aufgabe steht: Für jedes $x>1$ gilt...; damit ist jede reelle Zahl $x$ mit $x>1$ gemeint, nicht nur jede natürliche Zahl $>1$; deshalb bringt dir die Induktion nichts, weil du die Behauptung dann nur für alle [m]x \in \IN\setminus\{1\}[/m] zeigen würdest. Du sollst sie aber für alle [m]x \in ]1;\infty[[/m] zeigen! Stefan hat ja auch schon etwas dazu geschrieben...):
Also machen wir den Anfang:
Ist $x>1$, so existiert ein $y [mm] \in ]0;\infty[$, [/mm] so dass gilt:
$x=1+y$
Dann folgt:
[mm] $x^n=(1+y)^n\stackrel{1.2.3}{\ge}1+n*y$ ($\forall [/mm] n [mm] \in \IN^{\,0}$)
[/mm]
So, damit ist die Aufgabe schon fast komplett gelöst. Siehst du, warum?
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Do 21.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also, ein Tipp zur Aufgabe ii).
Zeige/Begründe:
Für alle $n [mm] \in \IN\setminus\{1\}$ [/mm] gilt: [mm] $n^n \ge 2^n$. [/mm]
(Du kannst es sogar allgemein für $n [mm] \in [2;\infty[$ [/mm] zeigen!)
Jetzt überlege dir, wie du Aufgabe i) ausnutzen kannst.
Liebe Grüße
Marcel
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Hm sicher bin ich mir jetzt sowieso überall nicht mehr*g Bin ja erst zweieinhalb Wochen in dieser Form der Mathematik und vorher war ich ein guter Schüler in Mathe und bin jetzt etwas verwirrt:) Aber ich habe mir jetzt ein Buch zur Analysis besorgt.
Versuche ich es mal: Wenn y [mm] \ge [/mm] 1 :(<-heißt doch "dann"?) [mm] (1+y)^n\stackrel{1.2.3}{\ge}1+n\cdot{}y [/mm] weil etwas potenziert ist größer als die selbe Zahl multipliziert.
Mir wurde heute gesagt, das wir die Aufgabe sowieso noch nicht machen müssen:D
Aber schaden kann es nicht.
Mfg
Markus
PS: Ich hoffe ich hab euch nicht zu sehr gestresst:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Do 21.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Markus,
> Hm sicher bin ich mir jetzt sowieso überall nicht mehr*g
> Bin ja erst zweieinhalb Wochen in dieser Form der
> Mathematik und vorher war ich ein guter Schüler in Mathe
> und bin jetzt etwas verwirrt:) Aber ich habe mir jetzt ein
> Buch zur Analysis besorgt.
Dann sage ich dir gleich: Es bringt auch nur etwas, wenn du es intensiv liest (also am besten mit Zettel und Stift daneben und hin und wieder versuchen, alles nochmal nachzuvollziehen durch hinschreiben und selberdenken  ) und am besten immer die Übungsaufgaben bearbeitest. Zumindest solltest du die Übungsaufgaben im Buch nicht außer Acht lassen!
> Versuche ich es mal: Wenn y [mm]\ge[/mm] 1 :(<-heißt doch "dann"?)
Was heißt "dann"? Der Doppelpunkt kann oft als "dann gilt" gelesen werden. Meinst du das?
> [mm](1+y)^n\stackrel{1.2.3}{\ge}1+n\cdot{}y[/mm] weil etwas
> potenziert ist größer als die selbe Zahl multipliziert.
Du hast dir aber schon den Satz 1.2.3 in eurem Skript angeguckt, oder? Der Satz 1.2.3 (bzw. die Bernoulli-Ungleichung) lautet:
Es gilt für alle $x [mm] \ge [/mm] -1$ und alle $n [mm] \in \IN^{\,0}$: $(1+x)^n \ge [/mm] 1+n*x$.
Das gilt, weil es eine (durch Induktion) bewiesene Aussage ist!
Aber so wie du das hier formulierst (Zitat von dir: "...weil etwas potenziert ist größer als die selbe Zahl multipliziert " Zitatende), macht das irgendwie sowieso keinen Sinn, oder bin ich nur verwirrt ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") ?
Du fängst oben auch so an:
"Wenn $y [mm] \ge [/mm] 1$:...".
Welches y meinst du? Meines kannst du nicht meinen, denn bei mir war [m]y > 0[/m] (und damit insbesondere [mm] $\ge$ [/mm] -1; vielleicht meintest du das?)
Aber da ich nicht sicher bin, ob du das alles verstanden hast, schreibe ich es lieber einmal ganz ausführlich:
Also, machen wir den Anfang nocheinmal ganz neu. Ich schreibe jetzt erst mal hin, was gegeben ist:
In deiner Aufgabe ist $x>1$ vorausgesetzt.
So, jetzt fange ich mit etwas ganz elementarem an:
Wenn $x>1$ gilt, dann gilt doch:
[mm] ($\star$) [/mm] $x-1>0$. Das ist dir doch klar, oder?
Wenn ich jetzt
[mm] ($\star \star$) [/mm] $y:=x-1$ setze, so gilt wegen [mm] ($\star$) [/mm] doch:
$y=x-1>0$, mit anderen Worten:
$y>0$.
Wenn also $x>1$ gilt, dann existiert ein $y>0$ (nämlich $y=x-1$), so dass gilt:
[mm] ($\star \star \star$) [/mm] $x=1+y$.
So, und deswegen gilt natürlich auch für jedes $n [mm] \in \IN^{\,0}$:
[/mm]
[mm] $x^n\stackrel{(\star \star \star)}{=}(\,\,\underbrace{1+y}_{=x}\,\,)^n$
[/mm]
Und auf [mm] $(1+y)^n$ [/mm] wende ich jetzt den Satz 1.2.3 (Die Bernoulli-Ungl.) an. Das $x$ im Satz 1.2.3 ist hier das $y$. Unser hier stehendes $y$ muß also, damit wir den Satz 1.2.3 anwenden dürfen, [mm] $\ge [/mm] -1$ sein. Weil wir aber oben schon gesehen haben, dass $y>0$ gilt, gilt erst recht:
[mm] $y>0\ge-1$, [/mm] also insbesondere [mm] $y\ge-1$. [/mm] Wir dürfen also den Satz 1.2.3 anwenden, und wegen des Satzes 1.2.3 gilt:
[mm] $(1+y)^n \stackrel{1.2.3}{\ge}1+y*n$.
[/mm]
So, wenn du das jetzt nicht verstehst, dann mußt du mir genau die Stelle mitteilen, die dir unklar ist und warum sie unklar ist. Allerdings weiß ich nicht, ob ich das noch ausführlicher erklären kann, aber ggf. werde ich es versuchen, wenn ich die Zeit dazu finde. Es kann aber evtl. bis Mitte nächster Woche dauern, weil ich noch einiges zu tun habe. Aber ich denke, wenn du gezielt nachfragst, dann kann dir auch gezielt (evtl. von jemand anderem) geholfen werden.
> Mir wurde heute gesagt, das wir die Aufgabe sowieso noch
> nicht machen müssen:D
> Aber schaden kann es nicht.
Na, mach sie lieber so schnell wie möglich! Sonst stapelt sich das alles irgendwann immer so und du machst dir nur selber Stress (ich spreche aus Erfahrung! ).
> Mfg
>
> Markus
>
> PS: Ich hoffe ich hab euch nicht zu sehr gestresst:)
Nein, ich hoffe nur, du versuchst deine Aufgabe nicht weiterhin, mit Induktion zu lösen und hast mittlerweile eingesehen, warum hier Induktion nichts bringt!
Liebe Grüße
Marcel
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Hi
Also biser habe ich das schon verstanden, wie du auf die Ungleichung gekommen bist, aber mein Problem liegt nach der Ungleichung. Ich verstehe jetzt nicht, warum die Ungleichung zeigen soll, das für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm]
[mm] x^{n} [/mm] = + [mm] \infty [/mm] gilt.
Morgen haben wir ein Tutorium, da werde ich mal nachfragen, also macht euch keine Mühe wenn ihr wenig Zeit habt.
Danke
PS: Spaß machts aber irgendwie noch immer:) DIe Übungsaufgaben, die wir machen sollen, hab ich schon fast alle gelöst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Do 21.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Markus,
also, dir ist bis jetzt vollkommen klar, dass gilt:
[mm] $x^n=(1+y)^n \ge [/mm] 1+y*n$ (mit $x>1$, $y>0$ und $n [mm] \in \IN^{\,0}$; [/mm] genauer kann man das in den vorherigen Threads nachlesen...).
Okay. Dann ist deine Frage schnell beantwortet, deshalb geht das auch heute noch:
Es folgt doch:
[mm] $x^n=(1+y)^n \ge [/mm] 1+y*n > n*y$, also:
(I) [mm] $x^n [/mm] > n*y$
Nun war doch $y>0$. $y>0$ ist aber eine feste Zahl (zwar von dem $x$ abhängig, aber das $x>1$ war ja auch beliebig, aber fest, vorgegeben. Siehe vorherige Threads...).
Jetzt überlege dir einfach mal, was nun mit $n*y$ passiert, wenn $n [mm] \to \infty$ [/mm] läuft. Wogegen muss dann wegen (I) zwangsweise auch [mm] x^n [/mm] laufen?
(Man kann das auch ganz exakt aufschreiben. Evtl. musst du das, dazu muss ich mir aber erst euer Skript genauer angucken, was ihr so alles benutzen dürft. Deshalb belasse ich es hier mal bei dieser Kurzfassung!)
Liebe Grüße
Marcel
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Guten Abend
Hm.. Darauf hätte ich selber kommen müssen. *am Kopf kratz*
Bei der Aufgabe hatte ich irgendwie nen Blackout.. Morgen versuche ich mal die weiter oben gepostete (ii). Ich denke/hoffe das ist da mal problemlos das Ergebnis errechne. Und gelernt habe ich auch, dass ich die Fragen etwas genauer stellen sollte, dann wären wir schon etwas früher fertig. Ich versuche/werde mich (zu) bessern.
Mfg
Markus S.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Do 21.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Markus,
weil es ja nichts direkt mit deiner Frage zu tun hat: Welches Analysis-Buch hast du dir denn besorgt?
Mein Lieblingsbuch ist (und wird es vermutlich auch noch lange bleiben) der Heuser. Die meisten anderen Bücher kenne ich nicht wirklich, sondern habe viele nur ausgeliehen und hatte nicht allzuviel Zeit, sie intensiv durchzulesen. Der Heuser hat mich aber (obwohl ich das Buch im ersten Semester gar nicht gut fand), je öfter ich mich damit befasst habe, richtig "gefesselt". Ich habe das Band zur Analysis I und das zur Analysis II (sind aber beides relativ dicke Brocken und auch relativ teuer; aber es lohnt sich auf jeden Fall, meiner Meinung nach!).
Aber Stefan kennt viele Bücher zur Analysis und kann dir in dieser Hinsicht auch "Empfehlungen" geben!
Liebe Grüße
Marcel
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Ich habe mir heute das Buch Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 ausgeliehen.
Also der Schreibstil gefällt mir, aber da sind glaube ich nicht alle Sachen drin, die wir so besprechen.
Also bin für Bücherempfehlungen immer offen.
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