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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Mo 14.09.2009 | | Autor: | odin1991 |
| Aufgabe | [mm] f_{a}(x)=\left(x+\bruch{1}{a}\right)*e^{-a*x}
[/mm]
[mm] a\in\IR\backslash\{0\}
[/mm]
Für jedes a gibt es auch eine Gerade [mm] g_{a} [/mm] mit [mm] g_{a}(x)=a*x+1.
[/mm]
Bestimmen Sie den Wert für a so, dass diese Gerade den Graph der zugehörigen Funktion [mm] f_{a} [/mm] in genau einem Punkt schneidet. |
Das ich [mm] g_{a}(x)=f_{a}(x) [/mm] nehmen muss, ist mir klar, nur kann ich das sich daraus ergebene Gleichungssystem nicht lösen...
Gibt ja: [mm] a*x+1=\left(x+\bruch{1}{a}\right)*e^{-a*x}
[/mm]
Vielleicht durch Substitution? oder ist es garnicht so schwer und ich sehe es einfach nicht? Vielen Dank für die Hilfe. mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, odin,
> [mm]f_{a}(x)=\left(x+\bruch{1}{a}\right)*e^{-a*x}[/mm]
>
> [mm]a\in\IR\backslash\{0\}[/mm]
> Für jedes a gibt es auch eine Gerade [mm]g_{a}[/mm] mit
> [mm]g_{a}(x)=a*x+1.[/mm]
> Bestimmen Sie den Wert für a so, dass diese Gerade den
> Graph der zugehörigen Funktion [mm]f_{a}[/mm] in genau einem Punkt
> schneidet.
> Das ich [mm]g_{a}(x)=f_{a}(x)[/mm] nehmen muss, ist mir klar, nur
> kann ich das sich daraus ergebene Gleichungssystem nicht
> lösen...
> Gibt ja: [mm]a*x+1=\left(x+\bruch{1}{a}\right)*e^{-a*x}[/mm]
> Vielleicht durch Substitution? oder ist es garnicht so
> schwer und ich sehe es einfach nicht?
Klammere auf der linken Seite a aus und Du erhältst:
a*(x + [mm] \bruch{1}{a}) [/mm] = [mm] \left(x+\bruch{1}{a}\right)*e^{-a*x}
[/mm]
Reicht Dir das schon als Hinweis?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 14.09.2009 | | Autor: | odin1991 |
darf ich dann einfach durch [mm] (x+\bruch{1}{a}) [/mm] teilen, und erhalte dann
[mm] a=e^{-a*x} [/mm] ?
und dann ginge ans umstellen...
dann hätte ich ln(a)=-a*x
gibt [mm] x=-\bruch{ln(a)}{a}
[/mm]
richtig so? aber wie unterscheide ich dann mehrere fälle, und suche mir den, bei dem ich nur einen schnittpunkt habe? mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Mo 14.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Odin!
Wenn Du hier gedankenlos durch die Klammer [mm] $\left(x+\bruch{1}{a}\right)$ [/mm] teilst, geht Dir eine weitere Lösung verloren.
Du musst also auch noch den Fall [mm] $\left(x+\bruch{1}{a}\right) [/mm] \ = \ 0$ gesondert untersuchen.
Und es gibt nur eine Lösung, wenn beide ermittelten Lösungen identisch sind.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mo 14.09.2009 | | Autor: | odin1991 |
achso, alles klar, die habe ich wirklich verschlampt. dann kommt also aus der Gleichung [mm] x+\bruch{1}{a}=0 [/mm] noch [mm] x=-\bruch{1}{a} [/mm] hinzu.
Jetzt setzte ich meine Ergebnisse, denke ich, gleich?
ergäbe dann [mm] -\bruch{1}{a}=-\bruch{ln(a)}{a}. [/mm] DArf ich dann einfach mit a multiplizieren, oder geht mir dann wieder was verloren? Ich tue das jetzt einfach mal...
ergäbe dann 1=ln(a) bzw. e=a
dh. wenn e=a gilt, habe ich nur eine lösung? mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 14.09.2009 | | Autor: | odin1991 |
Vielen Dank! Einsame spitze Loddar!
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Hi, odin,
> achso, alles klar, die habe ich wirklich verschlampt. dann
> kommt also aus der Gleichung [mm]x+\bruch{1}{a}=0[/mm] noch
> [mm]x=-\bruch{1}{a}[/mm] hinzu.
> Jetzt setzte ich meine Ergebnisse, denke ich, gleich?
> ergäbe dann [mm]-\bruch{1}{a}=-\bruch{ln(a)}{a}.[/mm] DArf ich
> dann einfach mit a multiplizieren, oder geht mir dann
> wieder was verloren? Ich tue das jetzt einfach mal...
> ergäbe dann 1=ln(a) bzw. e=a
> dh. wenn e=a gilt, habe ich nur eine lösung?
Klar: Wenn a = e ist, hast Du nur 1 Lösung, weil x = [mm] -\bruch{1}{a} [/mm] sozusagen doppelt rauskommt.
AAABER: Wenn a < 0 hast Du AUCH nur 1 Lösung!
Überleg' mal warum!!
Ergebnis der Aufgabe demnach:
Genau eine Lösung gibt es, wenn a < 0 [mm] \vee [/mm] a = e ist.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Mo 14.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zwerglein!
Gut aufgepasst. ![[detective]](/images/smileys/detective.gif "[detective]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:40 Di 15.09.2009 | | Autor: | odin1991 |
Achso, klar. Wegen des ln.... Vielen Dank!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Genau!
