Wertemenge berechnen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:04 Fr 28.01.2005 | | Autor: | SBDevil |
Hallo!
Ich hab mal wieder eine Frage! Diesmal such ich die Wertemenge Wf von
f(x)= [mm] \bruch{2sinx}{2+e^{-x}}
[/mm]
Durch ausprobieren weiß ich dass Wf= ]-1,1[ ist. Aber wie zeig ich das Rechnerisch?
Über hilfe wär ich sehr dankbar :)
mfg
SBDevil
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Hallo, SBDevil
der Grenzwert für $x [mm] \rightarrow -\infty$ [/mm] ist 0,
"die Grenzwerte" für [mm] $\lim [/mm] _{k [mm] \rightarrow +\infty}f\left( \frac{\pi}{2}(2k+1)\right)$ [/mm] sind [mm] "$\pm [/mm] 1$", ich meine, das braucht
man nicht als "Probieren" abzuqualifizieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Fr 28.01.2005 | | Autor: | SBDevil |
Hallo
ähm mit probieren meinte ich Zahlen im Taschenrechner eintippen und schauen was dabei rauskommt ;)
Aber zu deiner antwort:
Dass [mm] x->\infty [/mm] =0 ist klar. Aber wie kommst du auf
[mm] \lim_{k \rightarrow +\infty}f\left( \frac{\pi}{2}(2k+1)\right) [/mm] ?
Ich mein ich hab mich wenns um Wf ging bis jetzt immer nur so durchgewuselt mit Maxima berechnen und so. Und weiß gar nicht wieso du da nun [mm] \lim_{k \rightarrow +\infty}f\left( \frac{\pi}{2}(2k+1)\right) [/mm] ausrechnest? Und warum das dem Wf meiner Funktion entspricht.
Wär um erklärungen nochmals sehr dankbar :)
mfg SBDevil
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Hallo SBDevil,
Bei dieser Funktion wirst du mit Maxima nicht viel weiterkommen, da es keine (absoluten) gibt.
Nun zur Erläuterung der Antwort; Stell dir die Funktion einfach vor, dann hast du einen Sinus, der zwischen + und - 1 hin und herschwingt aber durch 1+(e^-x)/2 geteilt wird. Nun wird der Nenner bei jeder Schwingung kleiner, d.h. das infimum, supremum (Maxima und Minima gibt es nicht) sind wie die erste Antwort es bereits geschrieben hat. Nachdem du gezeigt hast, dass die "Grenzwerte" so sind, musst du nur noch Argumentieren, dass die Funktion stetig ist, d.h. nach Zwischenwertsatz ist ]-1,1[ im Wertebereich, und die Funktion vom Betrag her nie größer oder gleich 1 wird,dh. Wertebereich ist auch in ]-1,1[.
viele Grüße
Michael
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Hallo, SBDevil
da der Nenner für x gegen +unendlich gegen 2 geht,
nähert sich f(x) immer mehr sin(x) was für ungerade
Vielfache von [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] eben die Werte +1,-1
annimmt und alle Werte dazwischen. Wirklich Extrema
zu berechnen ist exakt nicht möglich wie Du vielleicht
schon festgestellt hast.
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