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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Sa 10.01.2009 | | Autor: | sakkara |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass f :]0, ∞[→ IR, f (x) := (x+1)/(x²+1) den Wertebereich [mm] Wf=]0,(\wurzel{2}+1)/2] [/mm] besitzt.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe zunächst versucht, den x Wert des maximums zu bestimmen. Jedoch ist das ein so langer Ausdruck, dass ich mir nicht sicher bin, ob ich richtig gerechnet habe:
[mm] x=\wurzel{y-(y/2)²-1}-y [/mm] (Weil x>0 ist) => [mm] xm=\wurzel{\wurzel{2}+1)/2-(\wurzel{2}+1)/2)²-1}-\wurzel{2}+1)/2.
[/mm]
Anschließend würde ich gerne zeigen, dass die funtion im bereich von 0 bis xm streng monoton wächst und ab dann streng monoton fällt. Dies ergäbe dann nach dem Zwischenwertsatz die Behauptung.
Ich weiß nur nicht, wie ich das zeigen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Sa 10.01.2009 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie, dass f :]0, ∞[→ IR, f (x) :=
> (x+1)/(x²+1) den Wertebereich [mm]Wf=]0,(\wurzel{2}+1)/2][/mm]
> besitzt.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe zunächst versucht, den x Wert des maximums zu
> bestimmen. Jedoch ist das ein so langer Ausdruck, dass ich
> mir nicht sicher bin, ob ich richtig gerechnet habe:
> [mm]x=\wurzel{y-(y/2)²-1}-y[/mm] (Weil x>0 ist) =>
> [mm]xm=\wurzel{\wurzel{2}+1)/2-(\wurzel{2}+1)/2)²-1}-\wurzel{2}+1)/2.[/mm]
Wie hast du denn diesen Wert gefunden? Sicherlich mit der ersten Ableitung?
Die ist mit Quotienteregel [mm] \bruch{(x^2+1)-(x+1)*2x}{(x^2+1)^2}= \bruch{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}
[/mm]
Wenn du den Zähler Null setzt, erhältst du die extremwertverdächtigen Stellen (Test auf Art des Extremums mit 2. Ableitung).
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> Anschließend würde ich gerne zeigen, dass die funtion im
> bereich von 0 bis xm streng monoton wächst und ab dann
> streng monoton fällt. Dies ergäbe dann nach dem
> Zwischenwertsatz die Behauptung.
Also muss die erste Ableitung jeweils größer 0 bzw. kleiner 0 sein.
Gruß Abakus
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> Ich weiß nur nicht, wie ich das zeigen soll.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Sa 10.01.2009 | | Autor: | sakkara |
Ja wenns so leicht wäre...
Nein wir dürfen keine Ableitungen benutzen.
Ich habe versucht g(x)=max zu setzen und nach x aufzulösen aber ich habe einen fehler gemacht also ist mein Wert Falsch.
Komme also nicht weiter. Es muss irgendwie mit dem Zwischenwertsatz und Stetigkeit zu zeigen sein und strenger monotonie in einem Intervall zu zeigen sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo sakkara!
Du kannst auch die Umkehrfunktion der o.g. Funktion ermitteln und dessen Definitionsbereich ermitteln. Denn das ist auch der Wertebereich der Ausgangsfunktion.
Gruß
Loddar
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