Wert einer konvergenten Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Sa 13.05.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die folgende Reihe konvergent ist und finden Sie deren Wert.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2k+1}{2^{k}}(-1)^{k} [/mm] |
1. Konvergenz
Ich habe das Wurzelkriterium auf den Absolutbetrag der Reihe angewendet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[k]{\bruch{2k+1}{2^{k}}} [/mm]
[mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ \wurzel[k]{3k}}{2} \to \bruch{1}{2}
[/mm]
Folglich konvergiert die Reihe.
Ist das soweit ok?
Aber wie kann man den Wert dieser Reihe bestimmen??? Wir haben nie besprochen, wie das geht, wär also nett wenn mir da einer weiterhelfen kann.
Vielen Dank!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Mo 15.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beweisen Sie, dass die folgende Reihe konvergent ist und
> finden Sie deren Wert.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2k+1}{2^{k}}(-1)^{k}[/mm]
> 1. Konvergenz
>
> Ich habe das Wurzelkriterium auf den Absolutbetrag der
> Reihe angewendet:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[k]{\bruch{2k+1}{2^{k}}}[/mm]
>
> [mm]\le \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ \wurzel[k]{3k}}{2} \to \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Folglich konvergiert die Reihe.
>
> Ist das soweit ok?
Ja. Mit dem Leibnitzkriterium gehts allerdings auch...
> Aber wie kann man den Wert dieser Reihe bestimmen??? Wir
> haben nie besprochen, wie das geht, wär also nett wenn mir
> da einer weiterhelfen kann.
Kennst du die Grenzwerte der Reihen [mm] $\sum_{k=0}^\infty [/mm] k [mm] x^{k-1}$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=0}^\infty x^k$ [/mm] fuer $|x| < 1$? Wenn nicht, beschaeftige dich erstmal damit (Tipp: das Erste ist die Ableitung vom zweiten).
Jetzt schreib [mm] $\sum_{k=0}^\infty \frac{2 k + 1}{2^k} (-1)^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty 2^{-k+1} [/mm] k [mm] (-1)^k [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^\infty (-1)^k 2^{-k} [/mm] = [mm] -\sum_{k=0}^\infty [/mm] k [mm] (-1/2)^{k-1} [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^\infty (-1/2)^k$. [/mm] (So darfst du das allerdings nicht aufschreiben; du musst es rueckwaerts aufschreiben da a priori nicht klar ist das die beiden Reihen in die ich das aufgeteilt hab konvergieren.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mo 15.05.2006 | | Autor: | papillon |
ok, der grenzwert der geometrischen reihe ist mir bekannt, aber wie lautet der der Ableitung??? Wo kann ich das nachlesen bzw. kann mir das einer erklären?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Di 16.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ok, der grenzwert der geometrischen reihe ist mir bekannt,
> aber wie lautet der der Ableitung??? Wo kann ich das
> nachlesen bzw. kann mir das einer erklären?
Na, du hast ja [mm] $\sum_{k=0}^\infty x^k [/mm] = [mm] \frac{1}{1 - x}$ [/mm] fuer $|x| < 1$. Jetzt leite die Gleichung doch mal auf beiden Seiten ab (die Reihe konvergiert kompakt gleichmaessig, womit du einfach gliedweise ableiten darfst). Was erhaelst du?
LG Felix
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