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| Aufgabe | Aufgabe
a) Für welchen Wert [mm] t_{0} [/mm] geht die Wendetangente an das Schaubild von f mit [mm] f(x)=x^{3}-tx^{2}+1 [/mm] durch den Ursprung?
b) Untersuchen Sie das Schaubild der Funktion für t = [mm] t_{0} [/mm] auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte. |
Hallo MatheForum!
Ich weiß nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Die Wendetangente muss durch (0|0) gehen, d.h. ich muss die Tangentengleichung aufstellen. Dazu brauch ich den Wendepunkt.
Den errechne ich mithilfe der 2. Ableitung: f''(x)=0
Für x bekomme ich dann 1/3t.
Das setze ich dann in die Ausgangsgleichung ein und bekomme [mm] 1-(\bruch{7}{54}t^{3}) [/mm] raus, was nicht stimmt, da in der Lösung [mm] W_{t}(\bruch{1}{3}t|1-\bruch{2}{27}t^{3}) [/mm] steht.
Hier mal mein genauer Rechenweg:
[mm] f(x)=x^{3}-tx^{2}+1
[/mm]
Ableitungen:
[mm] f'(x)=3x^{2}-2tx
[/mm]
f''(X)=6x-2t
Wendepunkt
f''(x)=0
6x-2t=0
6x=2t |:6
[mm] x=\bruch{1}{3}t
[/mm]
[mm] f(\bruch{1}{3}t)=(\bruch{1}{3}t)^{3}-t*(\bruch{1}{3}t)^{2}+1
[/mm]
= [mm] (\bruch{1}{27}t^{3}-\bruch{1}{6}t^{3}+1
[/mm]
= [mm] 1-\bruch{7}{54}
[/mm]
Was, wie gesagt falsch ist.
Außerdem weiß ich nicht, wie ich jetzt die Tangentengleichung aufstellen soll, um dann den Punkt (0|0) einzusetzen und so auf [mm] t_{0} [/mm] zu kommen.
Es gilt ja
t: [mm] y=f'(x_{0})*(x-x_{0})+f(x_{0})
[/mm]
Wie komme ich aber auf [mm] x_{0}?
[/mm]
Kann mir jemand helfen?
LG Eli
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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Hallo Elisabeth,
> Aufgabe
> a) Für welchen Wert [mm]t_{0}[/mm] geht die Wendetangente an das
> Schaubild von f mit [mm]f(x)=x^{3}-tx^{2}+1[/mm] durch den
> Ursprung?
> b) Untersuchen Sie das Schaubild der Funktion für t =
> [mm]t_{0}[/mm] auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte.
> Hallo MatheForum!
> Ich weiß nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll.
> Die Wendetangente muss durch (0|0) gehen, d.h. ich muss
> die Tangentengleichung aufstellen. Dazu brauch ich den
> Wendepunkt.
> Den errechne ich mithilfe der 2. Ableitung: f''(x)=0
> Für x bekomme ich dann 1/3t.
> Das setze ich dann in die Ausgangsgleichung ein und
> bekomme [mm]1-(\bruch{7}{54}t^{3})[/mm] raus, was nicht stimmt, da
> in der Lösung [mm]W_{t}(\bruch{1}{3}t|1-\bruch{2}{27}t^{3})[/mm]
> steht.
>
> Hier mal mein genauer Rechenweg:
> [mm]f(x)=x^{3}-tx^{2}+1[/mm]
> Ableitungen:
> [mm]f'(x)=3x^{2}-2tx[/mm]
> f''(X)=6x-2t
>
> Wendepunkt
> f''(x)=0
> 6x-2t=0
> 6x=2t |:6
> [mm]x=\bruch{1}{3}t[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]f(\bruch{1}{3}t)=(\bruch{1}{3}t)^{3}-t*(\bruch{1}{3}t)^{2}+1[/mm]
> = [mm](\bruch{1}{27}t^{3}-\bruch{1}{6}t^{3}+1[/mm]
[mm]f\left(\bruch{1}{3}t\right)=\bruch{1}{27}t^{3}-\bruch{1}{\red{9}}t^{3}+1[/mm]
> = [mm]1-\bruch{7}{54}[/mm]
>
> Was, wie gesagt falsch ist.
> Außerdem weiß ich nicht, wie ich jetzt die
> Tangentengleichung aufstellen soll, um dann den Punkt (0|0)
> einzusetzen und so auf [mm]t_{0}[/mm] zu kommen.
> Es gilt ja
> t: [mm]y=f'(x_{0})*(x-x_{0})+f(x_{0})[/mm]
> Wie komme ich aber auf [mm]x_{0}?[/mm]
Der Ansatz den Du gemacht hast ist schon richtig.
Verwende [mm]\bruch{1}{3}t[/mm] statt [mm]x_{0}[/mm]
Dann steht da:
[mm]y=f'\left(\bruch{1}{3}t\right)*\left(x-\bruch{1}{3}t\right)+f\left(\bruch{1}{3}t\right)[/mm]
Nun soll diese Wendetangente durch den Ursprung gehen, also x=y=0:
Das ergibt:
[mm]0=f'\left(\bruch{1}{3}t\right)*\left(-\bruch{1}{3}t\right)+f\left(\bruch{1}{3}t\right)[/mm]
Diese Gleichung ist dann nach t aufzulösen.
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> Kann mir jemand helfen?
>
> LG Eli
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum
> gestellt.
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
danke für deine Hilfe!!
Natürlich musste mir mal wieder so ein blöder Fehler passieren. Es ist nicht das erste Mal, dass ich bei [mm] 3^2 [/mm] = 6 rechne.
Autsch!
Mit den Extrema dürfte ich keine Schwierigkeiten mehr haben.
Nochmals danke!
LG Eli
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