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Wendepunkt bestimmen: Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:20 Mi 15.06.2005
Autor: Murphy

Hallo erstmal, ich würd mich freuen, wenn man sich das hier mal zum kontrllieren Angucken kann:
Also ich sollte den Wendepunkt der Funktion f bestimmen.

f(x)= (8x+16) / (x²)

folgende Bedingungen gelten ja beim Wendepunkt:

f'' (x) = 0
f'''(x) [mm] \not= [/mm] 0

Also hab ich angefangen die Ableitungen zu bilden:

f'(x) = ((2x*(8x+16))-(8x²)) / $ [mm] x^4 [/mm] $
       = (16x² + 32x - 8x²) / $ [mm] x^4 [/mm] $
       = (8x² + 32x) / $ [mm] x^4 [/mm] $
       = x(8x + 32) / $ [mm] x^4 [/mm] $

f'(x) =  (8x + 32) / (x³)

f''(x) = (3x(8x+32) - 8x³) / $ [mm] x^6 [/mm] $
       = (- 8x³ + 24x² + 96x ) / $ [mm] x^6 [/mm] $
       = x(- 8x² + 24x + 96)  / $ [mm] x^6 [/mm] $

f''(x)= (- 8x² + 24x + 96)  / $ [mm] x^5 [/mm] $

f'''(x) = (5x(-8x² + 24x +96) + (16x+24) $ [mm] x^5 [/mm] $) / ( x^10 )
        = (-40x³ + 120x² +480x +16 [mm] $x^6$ [/mm] +24 [mm] $x^5$) [/mm] / ( x ^10 )
        =  x (16 [mm] $x^5$ [/mm] +24 [mm] $x^4$ [/mm] -40x²+ 120x +480 ) / ( x ^10 )
        
f'''(x)= (16 [mm] $x^5$ [/mm] +24 [mm] $x^4$ [/mm] -40x²+ 120x +480 ) / $ x ^9 $

um die bedingnung f''(x) = 0 zu erfüllen hab ich jetzt den Zähler Null gesetzt:

0 = -8x² +24x +96

dann die NormalForm

0= x² -3x -12

mit anwendung der lösungformel bekomm ich folgende werte für:

[mm] x_{1} [/mm] = 5,275
[mm] x_{2} [/mm] = -2,275

diese beiden Werte hab ich dann in f'''(x) eingesetzt

$ [mm] f'''(x_{1}) [/mm] $= 0  [mm] \Rightarrow [/mm] keine Wendestelle bei [mm] x_{1} [/mm]

$ [mm] f'''(x_{2}) [/mm] $= 0,2035  [mm] \Rightarrow [/mm] Wendestelle bei [mm] x_{1} [/mm]

Dann hab ich [mm] x_{2} [/mm] in f(x) eingesetzt und erhalte letztenendes folgende Koordinaten für den Wendepunkt:

WP (-2,275 ; -0,425)

        
Bezug
Wendepunkt bestimmen: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Mi 15.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Murphy!


> f(x)= (8x+16) / (x²)
>  
> folgende Bedingungen gelten ja beim Wendepunkt:
>  
> f'' (x) = 0
> f'''(x) [mm]\not=[/mm] 0

[daumenhoch]


> Also hab ich angefangen die Ableitungen zu bilden:

[notok] Leider machst Du bei der Anwendung der MBQuotientenregel immer denselben Fehler: Es wird immer zuerst der Zählerterm der Funktion abgeleitet!

[mm] $\left( \ \bruch{\red{f}}{\blue{g}} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{f'}*\blue{g} - \red{f}*\blue{g'}}{\blue{g}^2}$ [/mm]



> f'(x) = ((2x*(8x+16))-(8x²)) / [mm]x^4[/mm]
>         = (16x² + 32x - 8x²) / [mm]x^4[/mm]
>         = (8x² + 32x) / [mm]x^4[/mm]
>         = x(8x + 32) / [mm]x^4[/mm]
> f'(x) =  (8x + 32) / (x³)

Es muß hier also heißen:

$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{8*x^2 - (8x+16)*2x}{x^4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8x^2 - 16x^2 - 32x}{x^4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-8x^2-32x}{x^4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x*\left(8x+32\right)}{x^4} [/mm] \ = \ [mm] \red{-} \bruch{8x+32}{x^3}$ [/mm]


Probiere doch nun einmal die anderen beiden Ableitungen ...


> f''(x) = (3x(8x+32) - 8x³) / [mm]x^6[/mm]

[notok] [mm] $x^3$ [/mm] abgeleitet ergibt [mm] $3*x^{\red{2}}$ [/mm] !!


Letztendlich habe ich als Wendepunkt erhalten (bitte nachrechnen):

$W \ [mm] \left( \ -6 \ \left| \ -\bruch{8}{9} \ \right)$ Gruß Loddar [/mm]
Bezug
                
Bezug
Wendepunkt bestimmen: Ableitungen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:26 Mi 15.06.2005
Autor: Murphy

Danke erstmal, hier jetzt meine Ableitungen unter beachtung der Anmerkungen:

f''(x) = (8x³ - (24x³ + 96 x²)) 7 $ [mm] x^6 [/mm] $

        = (96 - 16x) / $ [mm] x^4 [/mm] $

f'''(x) = (-16 $ [mm] x^4 [/mm] $ - 4x³(96 - 16x)) / $ [mm] x^8 [/mm] $

        = (384x³ - 48 $ [mm] x^4 [/mm] $) / $ [mm] x^8 [/mm] $

        = (384 - 48x) / $ [mm] x^5 [/mm] $

Bekomm da aber WP (-4 ; -0,5625)

Wo hab ich jetzt den Fehler?

Bezug
                        
Bezug
Wendepunkt bestimmen: 2. Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:42 Mi 15.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Murphy!


> f''(x) = (8x³ - (24x³ + 96 x²)) / [mm]x^6[/mm]

[notok] Du hast hier bereits das Minuszeichen vor der Ableitung vergessen (siehe $f'(x)$ in der obigen Antwort!).


> = (96 - 16x) / [mm]x^4[/mm]

[notok] Und hier hast Du die Klammer falsch aufgelöst.

[aufgemerkt] Vor der Klammer steht doch ein Minuszeichen, d.h. es drehen sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammer um:

[mm] $8x^3 [/mm] - [mm] \left(24x^3 + 96x^2\right) [/mm] \ = \ [mm] 8x^3 [/mm] - [mm] 24x^3 [/mm] - [mm] 96x^2 [/mm] \ = \ [mm] -16x^3 [/mm] - [mm] 96x^2$ [/mm]


Gruß
Loddar

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