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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Mi 24.01.2007 | | Autor: | g_hub |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Flächeninhalt A(X) der Fläche [mm] X:B\to \IR^3 [/mm] mit
X(u,v)=(u cos v, u sin v, h v)
mit h>0 und [mm] B=\{(u,v)\in\IR^2 | 0\le u\le r, 0\le v\le \alpha\} [/mm] |
Also, was ich schon habe:
[mm] DX=\pmat{cos v & -u sin v \\ sin v & u cos v \\ 0 & h}
[/mm]
und dementsprechend
[mm] A(X)=\integral_{B}{\wurzel{DX^T DX} du dv}=\integral_{B}{\wurzel{u^2+h^2} du dv}=\integral_{0}^{v}{\integral_{0}^{r}{\wurzel{u^2+h^2} du dv}}
[/mm]
So weit so gut... jetzt weiß ich nicht weiter: Wie berechnet man dieses Integral? kann mir da jmd weiterhelfen...?
danke schonmal
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Bitte die obere Grenze des äußeren Integrals korrigieren. Die Integrationen lassen sich trennen, da der Integrand nur von [mm]u[/mm] abhängt:
[mm] \left( \int_0^r~\sqrt{h^2 + u^2}~\, \mathrm{d}u \right) \cdot \left( \int_0^{\alpha}~\mathrm{d}v \right)
[/mm]
Für das erste Integral gibt es mehrere Möglichkeiten. Man kann z.B.
[mm]u = h \cdot \sinh{t} \, , \ \ \mathrm{d}u = h \cdot \cosh{t}[/mm]
substituieren. Beachte dazu [mm]1 + \sinh^2{t} = \cosh^2{t} = \frac{1}{2} \left( 1 + \cosh{(2t)} \right)[/mm].
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