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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 So 11.06.2006 | | Autor: | Jumi |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen f und g mit
f(x)= - cos (2x)+ 0,5x+1 und g(x)=0,5x+1 mit -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2,5.
Ihre Schaubilder sind Kf und Kg.
Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte von Kf und zeichnen Sie die Schaubilder Kf und Kg in ein geeignetes Koordinatensystem. |
Hallo,
"Oben" steht die gesammte Aufgabe, ich habe eine Frage zu den Extrempunkten und zu den Wendepunkten.
"Meine" Ableitungen sind folgende:
f'(x)= 2 sin (2x)+0,5
f''(x)= 4 cos (2x)
f'''(x)= -8sin(2x)
Nun habe ich zuerst die Hoch- und Tiefpunkte berechnet:
f'(x) = 0
2sin (2x) + 0,5 = 0
2 sin (2x) = -0,5
sin (2x) = -0,25 (Sinus Invers mit TR)
2x = - 0,25
x = - 0,13
x in f''(x)
f(-0,13)= 4 cos (2*-o,13) = 3,87 [mm] \ge [/mm] 0 = Tiefpunkt
x in f(x)
f(-0,13)= -cos (2+-0,13) + 0,5*-0,13 + 1 = -0,03
Tiefpunkt ( -0,13/-0,03)
Laut den dazugehörigen Lösungen stimmt dieser Tiefpunkt. Auf dem Blatt stehen leider jedoch keine genauen Lösungswege und nun die Frage:
Warum rechnen die 2x [mm] \approx \pi [/mm] + 0,25 [mm] \Rightarrow [/mm] X2 [mm] \approx [/mm] 1,70 ?
X1 ist wie auch in meiner Lösung -0,13 , aber wie komme ich auch X2 ?
Dies ist ja der Wert den ich zum berechnen des Hochpunktes brauche, oder? Laut Lösung ist der Hochpunkt nämlich (1,70/2,82).
Ist die 0,25 die Zahl (-0,25) aus der obenstehenden Rechnung ?
Wenn ja, warum ändere ich das Vorzeichen ? Und warum nehme ich gerade diese Zahlt und nicht -0,13 ?
Beim Wendepunkt kmme ich auch nicht weiter.
f''(x) = 4 cos (2x) = 0
da kommt dann raus
x= 0,79
in f'''(x) eingesetzt ergibt, dass - 7,99 [mm] \not= [/mm] 0
f(-0,79)= -cos (2*0,79) +0,5*0,79+1= 1,40
Das kann, aber ganz und gar nicht stimmen.
Die Lösung ist:
cos (2x) = o
X1= - [mm] \pi/4 [/mm] V X2= [mm] \pi/4 [/mm] V X3= 3/4 [mm] \pi
[/mm]
f'''(x1)= f'''(x3)= -8 [mm] \not= [/mm] 0, f'''(x2)= 8 [mm] \not= [/mm] 0
W1 (-0,79/0,61), W2(0,79/1,39), W3(2,36/2,17)
Wie komme ich auf die Lösungen ? Rechne ich da "einfach" immer eine Periode weiter bis zum Ende des Definitionsbereiches ?
Auch verstehe ich die Formel nicht zu den Hoch- und Tiefpunkten.
Sinus
Hochpunkte
x= [mm] \pi/2 [/mm] + Z *2 [mm] \pi
[/mm]
Tiefpunkte
x= 3/2 [mm] \pi [/mm] + Z*2 [mm] \pi
[/mm]
Cosinus
Hochpunkte
X= Z* 2 [mm] \pi
[/mm]
Tiefpunkte
x= [mm] \pi [/mm] + Z + 2 [mm] \pi
[/mm]
Kann mir die "kurz" jemand erklären ?
Vielen Dank im Vorraus und liebe Grüße
Jumi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 So 11.06.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Jumi,
Herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sind die Funktionen f und g mit
> f(x)= - cos (2x)+ 0,5x+1 und g(x)=0,5x+1 mit -1 [mm]\le[/mm] x
> [mm]\le[/mm] 2,5.
>
> Ihre Schaubilder sind Kf und Kg.
> Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte von Kf und
> zeichnen Sie die Schaubilder Kf und Kg in ein geeignetes
> Koordinatensystem.
> Hallo,
>
> "Oben" steht die gesammte Aufgabe, ich habe eine Frage zu
> den Extrempunkten und zu den Wendepunkten.
>
> "Meine" Ableitungen sind folgende:
>
> f'(x)= 2 sin (2x)+0,5
> f''(x)= 4 cos (2x)
> f'''(x)= -8sin(2x)
>
> Nun habe ich zuerst die Hoch- und Tiefpunkte berechnet:
>
> f'(x) = 0
> 2sin (2x) + 0,5 = 0
> 2 sin (2x) = -0,5
> sin (2x) = -0,25 (Sinus Invers mit TR)
> 2x = - 0,25
> x = - 0,13
>
> x in f''(x)
> f(-0,13)= 4 cos (2*-o,13) = 3,87 [mm]\ge[/mm] 0 = Tiefpunkt
>
> x in f(x)
> f(-0,13)= -cos (2+-0,13) + 0,5*-0,13 + 1 = -0,03
> Tiefpunkt ( -0,13/-0,03)
>
> Laut den dazugehörigen Lösungen stimmt dieser Tiefpunkt.
> Auf dem Blatt stehen leider jedoch keine genauen
> Lösungswege und nun die Frage:
> Warum rechnen die 2x [mm]\approx \pi[/mm] + 0,25 [mm]\Rightarrow[/mm] X2
> [mm]\approx[/mm] 1,70 ?
> X1 ist wie auch in meiner Lösung -0,13 , aber wie komme
> ich auch X2 ?
Es gilt die Formel:
$ [mm] \sin [/mm] x = [mm] \sin(\pi [/mm] - x) $
also
$ [mm] \sin(-0,25) [/mm] = [mm] \sin(\pi [/mm] - (-0,25)) $
> Dies ist ja der Wert den ich zum berechnen des Hochpunktes
> brauche, oder?
genau!
> Laut Lösung ist der Hochpunkt nämlich
> (1,70/2,82).
> Ist die 0,25 die Zahl (-0,25) aus der obenstehenden
> Rechnung ?
> Wenn ja, warum ändere ich das Vorzeichen ? Und warum nehme
> ich gerade diese Zahlt und nicht -0,13 ?
>
> Beim Wendepunkt kmme ich auch nicht weiter.
> f''(x) = 4 cos (2x) = 0
> da kommt dann raus
> x= 0,79
>
> in f'''(x) eingesetzt ergibt, dass - 7,99 [mm]\not=[/mm] 0
> f(-0,79)= -cos (2*0,79) +0,5*0,79+1= 1,40
Du meinst:
$ f(0,79)= -cos (2*0,79) +0,5*0,79+1= 1,40 $
>
> Das kann, aber ganz und gar nicht stimmen.
> Die Lösung ist:
> cos (2x) = o
> X1= - [mm]\pi/4[/mm] V X2= [mm]\pi/4[/mm] V X3= 3/4 [mm]\pi[/mm]
> f'''(x1)= f'''(x3)= -8 [mm]\not=[/mm] 0, f'''(x2)= 8 [mm]\not=[/mm] 0
>
> W1 (-0,79/0,61), W2(0,79/1,39), W3(2,36/2,17)
Den 2. Wert bekommst du über die Formel
$ [mm] \cos [/mm] x = [mm] \cos(-x) [/mm] $
Den 3. über die Formel:
$ [mm] \cos(\pi [/mm] - x) = [mm] \cos(\pi+x) [/mm] $
>
> Wie komme ich auf die Lösungen ? Rechne ich da "einfach"
> immer eine Periode weiter bis zum Ende des
> Definitionsbereiches ?
Du bist bei der ersten Addition schon über D hinaus. Du musst dir mal ansehen, was es sonst noch für Formeln gibt.
Gruß
Sigrid
>
>
> Auch verstehe ich die Formel nicht zu den Hoch- und
> Tiefpunkten.
>
> Sinus
> Hochpunkte
> x= [mm]\pi/2[/mm] + Z *2 [mm]\pi[/mm]
>
> Tiefpunkte
> x= 3/2 [mm]\pi[/mm] + Z*2 [mm]\pi[/mm]
>
> Cosinus
> Hochpunkte
> X= Z* 2 [mm]\pi[/mm]
>
> Tiefpunkte
> x= [mm]\pi[/mm] + Z + 2 [mm]\pi[/mm]
>
> Kann mir die "kurz" jemand erklären ?
>
> Vielen Dank im Vorraus und liebe Grüße
> Jumi
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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