Wellengleichungen, QM, Elektr. < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Sa 02.10.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Habe das Skript nun durch (Semester hat erst begonnen, aber die Physik ist halt schon interessant...). Leider sehe irgendwie die ganzen Zusammenhänge noch nicht so bezüglich dem Atommodell und dessen Auswirkungen (als auch die Zusammenhänge Drehimpuls eines Elektrons und Schrödingergleichung und so...). Ausserdem bin ich mit diesen vielen Wellengleichungen verwirrt. Ich wollt darum mal allgemein ein paar Fragen zu Unklarheiten stellen.
Schrödingergleichung:
[mm] i*\bruch{h}{2*\pi}*\bruch{\partial}{\partial t} [/mm] u(r,t) = [mm] (-\bruch{\bruch{h^{2}}{(2*\pi)^{2}}}{2*m}*\Delta [/mm] + V(r,t))*u(r,t)
1. Es ist doch so, dass wenn man Materialien sehr tief kühlt, die Atome/Molekühle sich anders verhalten? Wo seh ich die Temperatur in der Schrödingergleichung, die ja Elekronen beschreibt? Vielleicht ist bei kleinerer Temperatur die Potentielle Energie V(r,t) kleiner? Oder hat die nur was mit der Coulombkräften im Atom zu tun?
2. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons, ist die jetzt überall gleich in dem Orbital, oder ist das so eine Kurve mit einem Maximum die dann wiederabfällt? Weil, ich habe schon beides gesehen, und vielleicht verwechsel ich da was.
Einmal steht: "Die Auftenthalswahrscheinlichkeit eines Elektrons ist Überall dieselbe, denn...
Wahrscheinlichkeit = [mm] |u(x,t)|^{2} [/mm] = u(x,t)*Konjugiert(u(x,t)) = [mm] \bruch{1}{L^{3}}*e^{i*k*r}*e^{-i*k*r} [/mm] = [mm] \bruch{1}{L^{3}}
[/mm]
"
...wogegen ![[]](/images/popup.gif) hier (in dem Bild mit den Kurven) verschiedene Wahrscheinlichkeiten angegeben werden...?
3. Der Übergang von der KM zur QM kann hier so dargestellt werden:
Ort: x ---> x
Impuls: p ---> [mm] \bruch{- i*h}{2*\pi}*grad [/mm]
Energie: E ---> [mm] \bruch{i*h}{2*\pi}* \bruch{\partial}{\partial t} [/mm]
Wie kann man das interpretieren?
Also der Impuls ist der Steillste anstieg der Wellenfunktion mal eine Konstante?
Und die Energie ist die änderung der Wellenfunktion mal eine Konstante?
4. Es ist doch so, dass zum Beispiel beim Wasserstoffatom das eine Elektron immer im s-Orbital ist. Aber andrerseits kann man doch mit Photonen Elektronen in andere Bahnen/Orbitale bringen und dann ist das ja nicht mehr das gleiche Atom oder wie ist das?
5. Der Prof hat gesagt Elektronen Bewegen sich in 2-Dimensionalen Wellen (also wie Wellen in einer Ebene, nicht Schallwellen). Aber die Wellenfunktion ist doch eine Beschreibung die den ganzen Raum mit einer Welle füllt.
Andrerseits steht das die Welle eines Elektrons so beschrieben wird:
[mm] u(\overrightarrow{x},t) [/mm] = [mm] A*e^{i*(\overrightarrow{k}*\overrightarrow{x} - w*t)}, [/mm] wobei k der Wellenvektor ist.
...das ist doch 3-Dimensional gemeint? Ich habe den Assistent gefragt, der meinte auch das sei selbstverständlich 3-Dimensional.
Wäre wirklich sehr froh wenn mir jemand ein bisschen helfen könnte...
Gruss Qsxqsx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Sa 02.10.2010 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
> Schrödingergleichung:
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> [mm]i*\bruch{h}{2*\pi}*\bruch{\partial}{\partial t}[/mm] u(r,t) =
> [mm](-\bruch{\bruch{h^{2}}{(2*\pi)^{2}}}{2*m}*\Delta[/mm] +
> V(r,t))*u(r,t)
Gewoehne es dir lieber an, sofort [mm] $\hbar$ [/mm] zu schreiben, denn das ist die 'natuerlichere' Einheit, die in den Gleichungen auftaucht. Dann kann man sich das ganze [mm] $2\pi$ [/mm] sparen. Speater ist es auch so, dass man die Groesse [mm] $\hbar=1$ [/mm] setzt, wenn man alles 'in Einheiten von [mm] $\hbar$ [/mm] messen will' (in der Feldtheorie ists zB so ueblich).
>
>
> 1. Es ist doch so, dass wenn man Materialien sehr tief
> kühlt, die Atome/Molekühle sich anders verhalten? Wo seh
> ich die Temperatur in der Schrödingergleichung, die ja
> Elekronen beschreibt?
Die Schroedingergleichung beschreibt auch andere Objekte, aber unter anderem auch die Elektronen ja.
Die Temperatur taucht nirgends auf, die Quantenmechanik, die du dort hinschreibst meint, dass man das System voellig isoliert von der Umwelt hat, und es keine Fluktuationen durch die Temperatur gibt. Sowas kommt erst dann mit rein, wenn man die Quantenstatistik mit reinnimmt, was man hier aber nirgends macht. Man kann so gesehen sagen, dass man das System als 'ideales' System beschreibt, das mit nichts wechselwirkt und sich selbst ueberlassen ist, und man damit sozusagen $T=0$ hat.
>Vielleicht ist bei kleinerer
> Temperatur die Potentielle Energie V(r,t) kleiner? Oder hat
> die nur was mit der Coulombkräften im Atom zu tun?
Ja, so wie es beim Elektron angesetzt wird, ist $V(r)$ ja nur das Coulombpotential, und das ist voellig unabhaengig von der Temperatur.
>
> 2. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons, ist
> die jetzt überall gleich in dem Orbital, oder ist das so
> eine Kurve mit einem Maximum die dann wiederabfällt? Weil,
> ich habe schon beides gesehen, und vielleicht verwechsel
> ich da was.
> Einmal steht: "Die Auftenthalswahrscheinlichkeit eines
> Elektrons ist Überall dieselbe, denn...
> Wahrscheinlichkeit = [mm]|u(x,t)|^{2}[/mm] =
> u(x,t)*Konjugiert(u(x,t)) =
> [mm]\bruch{1}{L^{3}}*e^{i*k*r}*e^{-i*k*r}[/mm] = [mm]\bruch{1}{L^{3}}[/mm]
> "
>
> ...wogegen
> hier
> (in dem Bild mit den Kurven) verschiedene
> Wahrscheinlichkeiten angegeben werden...?
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit, wie es zB bei deinem Bild ist, meint die Wahrscheinlichkeitsamplitude, das Elektron an der radialen Postition $r$ zu finden. Die ist ,wie du siehst, unterschiedlich, und fuer hoehere Energien und Drehimpulse driftet das Maximum weiter nach aussen. Das klassische Analogon dafuer ist, dass man ja auch weiter nach aussen driftet, je mehr Bahndrehimpuls man hat...
Die 'Normierung' auf [mm] $1/L^3$ [/mm] sieht mir danach aus, als habe man hier die komplette Wellenfunktion (WF) intergriert und sagt, dass [mm] $\langle \psi [/mm] | [mm] \psi \rangle=1$ [/mm] ist, spricht, eine normierte WF vorliegt.
>
> 3. Der Übergang von der KM zur QM kann hier so dargestellt
> werden:
>
> Ort: x ---> x
> Impuls: p ---> [mm]\bruch{- i*h}{2*\pi}*grad[/mm]
> Energie: E ---> [mm]\bruch{i*h}{2*\pi}* \bruch{\partial}{\partial t}[/mm]
>
> Wie kann man das interpretieren?
Das kann man so interpretieren, dass man jetzt eine Wellenmechanik vorliegen hat, und man nun die klassischen Groessen durch quantenmechanische Observablen beschreibt, die durch hermitesche Operatoren im Hilbertraum dargestellt werden. 'Mehr' ist das eigentlich nicht.
> Also der Impuls ist der Steillste anstieg der
> Wellenfunktion mal eine Konstante?
> Und die Energie ist die änderung der Wellenfunktion mal
> eine Konstante?
Kann man mathematisch so vermutlich sagen, aber das bringt ja nichts zur Anschauung, denn die Wellenfunktion an sich hat ja erst einmal gar keine anschauliche Bedeutung...
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> 4. Es ist doch so, dass zum Beispiel beim Wasserstoffatom
> das eine Elektron immer im s-Orbital ist. Aber andrerseits
> kann man doch mit Photonen Elektronen in andere
> Bahnen/Orbitale bringen und dann ist das ja nicht mehr das
> gleiche Atom oder wie ist das?
Es ist das selbe Atom, nur mit einem Elektron, das in einem anderen Zustand verharrt. Das System ist nun ein anderes, weil sich die Quantenzahlen geaendert haben, bspw. $n$ oder [mm] $l^2$ [/mm] usw.
Man geht immer davon aus in dem Modell, dass sich das Elektron in einem Coulomb-Potential bewegt, das von einer Ladung verursacht wird. Wechselwirkungsterme stehen ja in deinem Hamilton-Operator nicht drin, also geht mand avon aus, dass ein Elektron in einem anderen Niveau den Kern nicht veraendert.
Solche Uebergaenge kann dein Hamiltonian aber nicht beschreiben, dafuer braucht es einen Stoerhamiltonian, mit dessen Hilfe man dann mit (zeitabhaengiger) Stoerungstheorie die Uebergangsraten berechnen kann (Fermis Goldene Regel)
>
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> 5. Der Prof hat gesagt Elektronen Bewegen sich in
> 2-Dimensionalen Wellen (also wie Wellen in einer Ebene,
> nicht Schallwellen). Aber die Wellenfunktion ist doch eine
> Beschreibung die den ganzen Raum mit einer Welle füllt.
Das Elektron ist die Wellenfunktion. Da wuerde ich mir nichts weiter drunter vorstellen, ausser dass das Betragsquadrat die Wsk angibt, das Objekt, das wir Elektron nennen, irgendwo zu finden.
>
> Andrerseits steht das die Welle eines Elektrons so
> beschrieben wird:
> [mm]u(\overrightarrow{x},t)[/mm] =
> [mm]A*e^{i*(\overrightarrow{k}*\overrightarrow{x} - w*t)},[/mm]
> wobei k der Wellenvektor ist.
>
> ...das ist doch 3-Dimensional gemeint? Ich habe den
> Assistent gefragt, der meinte auch das sei
> selbstverständlich 3-Dimensional.
Vlt. spielte er darauf an, dass es sowas wie 'Drehimpulserhaltung' gibt, und wenn man klassisch ein Objekt hat, wo der Drehimpuls erhalten ist, wird sich das Teil auch in einer Ebene bewegen, also $2D$.
Normalerweise beschreibt mans aber $3D$, weil man eine Wellenfunktion hat, die von [mm] $\vec{r}$ [/mm] und $t$ abhaengt, wobei in den meisten Faellen, wo der Hamiltonian zeitunabhaengig ist, eine triviale Zeitentwicklung hat.
Ich hoffe, das hilft dir ein bisschen weiter.
LG
Kroni
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> Wäre wirklich sehr froh wenn mir jemand ein bisschen
> helfen könnte...
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> Gruss Qsxqsx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Sa 02.10.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja, das hast du richtig gesehen, man hat hier das Betragsquadrat der Wellefunktion integriert, und eben erhalten, das die Wahrscheinlichkeit überall gleich ist bzw. man dem Teilchen in der Wellenfunktion keinen bestimmten Ort zuordnen kann.
Ich muss zuerst mal noch mehr in den Stoff kommen und noch ein paar deiner Aussagen genauer nachvollziehen, vielleicht post ich dann nochmals was hier...
Das hat mir viel geholfen! Genau die Dinge die ich nicht verstanden habe... Danke dir!!!!!!
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