Wellengleichung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Mi 15.07.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Für welche Werte von a [mm] \in \IR [/mm] \ {0} ist die Funktion
u(x, t) = [mm] \bruch{1}{2a} \integral_{x+at}^{z=x−at}{h(z) dz} [/mm]
Lösung der partiellen Differentialgleichung (1-dim. Wellengleichung) u_tt = u_xx ?
(Die Funktion h(z) sei stetig differenzierbar.) |
hallo,
ich bin mir hier nicht ganz sicher wie ich da rangehen soll.
Ich dachte mir erst je nach x und t 2-mal differenzieren und dann eben gleichsezten. Nun bei der Ableitung nach der Leibnitz-Regel weiß ich nich wie ich das machen soll, denn ich habe ja h(z) nicht gegeben, und um intergrieren zu können bräuchte ich ja eine stammfunktion, die hab ich aber nicht ohne funktion...und das allgemein zu halten bringt mich denke ich nicht weit, oder?
danke im vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Mi 15.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Dein Integral ist von der Form
[mm] \integral_{\phi(x,t)}^{\psi(x,t)}{h(z) dz}
[/mm]
Ist H eine Stammfunktion von h, so ist:
[mm] $\integral_{\phi(x,t)}^{\psi(x,t)}{h(z) dz}= H(\psi(x,t))-H(\phi(x,t))$
[/mm]
Kettenregel !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Mi 15.07.2009 | | Autor: | cracker |
Ja, eben diese leibnitzregel habe ich angewand, aber was bringt mir das ganze? ich komme hier ienfach nicht weiter..
habe jetzt die part. ableitungen von u_tt und u_xx diese gleichgesetzt und nun komme ich nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Mi 15.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ja, eben diese leibnitzregel habe ich angewand, aber was
> bringt mir das ganze? ich komme hier ienfach nicht
> weiter..
Und woher soll ich wissen , woran das liegt ? Zeig doch mal Deine Rechnungen !
> habe jetzt die part. ableitungen von u_tt und u_xx diese
> gleichgesetzt und nun komme ich nicht weiter...
Siehe oben: vorrechnen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mi 15.07.2009 | | Autor: | cracker |
[mm] u_x [/mm] = 1/2a [mm] \integral_{x-at}^{x+at}{h'(z) dz} [/mm] + h(x+at,t) - h(x-at,t)
u_xx = 1/2a [mm] \integral_{x-at}^{x+at}{h''(z) dz} [/mm] + h'(x+at,t) - h'(x-at,t) + h(x+at,t) - h(x-at,t)
[mm] u_t [/mm] = 1/2a [mm] \integral_{x-at}^{x+at}{h'(z) dz} [/mm] + a*h(x+at,t) + a*h(x-at,t)
u_tt = 1/2a [mm] \integral_{x-at}^{x+at}{h''(z) dz} [/mm] + a*h'(x+at,t) +a*h'(x-at,t) + a*h(x+at,t) + a*h(x-at,t)
>> u_tt = u_xx
1/2a [mm] \integral_{x-at}^{x+at}{h''(z) dz} [/mm] + h'(x+at,t) - h'(x-at,t) + h(x+at,t) - h(x-at,t) = 1/2a [mm] \integral_{x-at}^{x+at}{h''(z) dz} [/mm] + a*h'(x+at,t) +a*h'(x-at,t) + a*h(x+at,t) + a*h(x-at,t)
das ergibt:
(1-a)*h'(x+at,t) - (1+a)*h'(x-at,t) + (1-a)*h(x+at,t) - (1+a)*h(x-at,t) = 0
und jetzt weiß ich nicht weiter...
dankefür die schnellen antworten!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Mi 15.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]u_x[/mm] = 1/2a [mm]\integral_{x-at}^{x+at}{h'(z) dz}[/mm] + h(x+at,t) -
> h(x-at,t)
Was hast Du da gerechnet ?? h ist eine Funktion vo 1 Variablen !!!
Es ist z.B.:
[mm] $u_x [/mm] = [mm] \bruch{1}{2a}(h(x+at)+h(x-at))$
[/mm]
FRED
> u_xx = 1/2a [mm]\integral_{x-at}^{x+at}{h''(z) dz}[/mm] +
> h'(x+at,t) - h'(x-at,t) + h(x+at,t) - h(x-at,t)
>
>
> [mm]u_t[/mm] = 1/2a [mm]\integral_{x-at}^{x+at}{h'(z) dz}[/mm] + a*h(x+at,t)
> + a*h(x-at,t)
> u_tt = 1/2a [mm]\integral_{x-at}^{x+at}{h''(z) dz}[/mm] +
> a*h'(x+at,t) +a*h'(x-at,t) + a*h(x+at,t) + a*h(x-at,t)
>
> >> u_tt = u_xx
>
> 1/2a [mm]\integral_{x-at}^{x+at}{h''(z) dz}[/mm] + h'(x+at,t) -
> h'(x-at,t) + h(x+at,t) - h(x-at,t) = 1/2a
> [mm]\integral_{x-at}^{x+at}{h''(z) dz}[/mm] + a*h'(x+at,t)
> +a*h'(x-at,t) + a*h(x+at,t) + a*h(x-at,t)
>
> das ergibt:
>
> (1-a)*h'(x+at,t) - (1+a)*h'(x-at,t) + (1-a)*h(x+at,t) -
> (1+a)*h(x-at,t) = 0
>
> und jetzt weiß ich nicht weiter...
> dankefür die schnellen antworten!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mi 15.07.2009 | | Autor: | cracker |
h(z)=h(x-at)?!
z ist doch ne eigene funktoin? oder nicht? wie soll ich denn sonst an die sache rangehen?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Mi 15.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
z ist ne Integrationsvariable und keine Funktion.
kenntest du ne Stmmfkt von h etwa H dann waere doch das Integral H(x+at)-H(x-at) wie dir im post davor schon gesagt wurde. und die ableitung von H(y)nach y ist H'(y)*y'
mit H'=h y=x+at y'=1
Gruss leduart
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