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Forum "Uni-Stochastik" - Welche Verteilung
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Welche Verteilung: Anwendung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Fr 08.06.2012
Autor: bandchef

Aufgabe
20 Stimmen werden zufällig auf 3 Kandidaten verteilt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kandidat A 10 Stimmen und die Kandidaten B und C je 5 Stimmen erhalten?

Hi Leute!

Welche Verteilung passt hier? Ich hab mir gedacht, dass evtl. die hypergeometrische Verteilung passen könnte, aber was mich stutzig werden lässt ist die Tatsache, dass es ja drei Kandidaten gibt...

Auch sonst passt das Ganze nicht so wirklich auf diese Verteilung.

Ich hab mir auch noch überlegt, das mit der Binomialverteilung zu lösen, aber da fehlt mir dann eine Prozentangabe...


Könnt ihr mir weiterhelfen?

        
Bezug
Welche Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 Fr 08.06.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> 20 Stimmen werden zufällig auf 3 Kandidaten verteilt.
>  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kandidat A
> 10 Stimmen und die Kandidaten B und C je 5 Stimmen
> erhalten?
>  Hi Leute!
>  
> Welche Verteilung passt hier? Ich hab mir gedacht, dass
> evtl. die hypergeometrische Verteilung passen könnte, aber
> was mich stutzig werden lässt ist die Tatsache, dass es ja
> drei Kandidaten gibt...
>  
> Auch sonst passt das Ganze nicht so wirklich auf diese
> Verteilung.
>  
> Ich hab mir auch noch überlegt, das mit der
> Binomialverteilung zu lösen, aber da fehlt mir dann eine
> Prozentangabe...
>  
> Könnt ihr mir weiterhelfen?


Hallo bandchef,

da würde ich keine Wahrscheinlichkeitsverteilung bemühen,
sondern einen kombinatorischen Ansatz wählen.
Man kann die möglichen Stimmverteilungen als die
menge aller "Variationen mit Wiederholungen" mit den
Parametern n=3 und k=20 auffassen.
Die "günstigen" Stimmverteilungen entsprechen dann
den "Wörtern" der Länge 20, welche man aus genau 10 "A",
5 "B" und 5 "C" bilden kann.

LG   Al-Chw.


Bezug
                
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Welche Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Fr 08.06.2012
Autor: bandchef

"Alle Variationen mit Wiederholungen" Ist doch dann denke ich mal der Binomialkoeffizient, oder?

[mm] $\Rightarrow \binom{20}{3} [/mm] = 1140$

Edit: Es ist natürlich nit der Binom.-Koeff. sondern das hier: $V(n,k) = [mm] n^k \Leftrightarrow [/mm] V(3,20) = [mm] 3^{20} [/mm] = 3486784401$


Zitat: "Die "günstigen" Stimmverteilungen entsprechen dann
den "Wörtern" der Länge 20, welche man aus genau 10 "A",
5 "B" und 5 "C" bilden kann."

Das habe ich allerdings nicht so ganz verstanden. Das "Wort" soll also aus genau 10 "A", 5 "B" und 5 "C" bestehen. Ist dann hier die Reihenfolge, in welcher die Buchstaben im Wort angeordnet sind, egal? Ich denke mal dass, die Reihenfolge egal ist, da du ja von "allen Wörtern" sprichst.

Deswegen wird es wahrscheinlich die "Kombination ohne Wiederholung" sein, oder? Allerdings verstehe ich nocht so ganz welche Variable welche Zahl bekommt:

[mm] $C(n,k)_A [/mm] = [mm] \binom{n}{k} \Leftrightarrow C(20,10)_A [/mm] = [mm] \binom{20}{10} [/mm] = 184756$

[mm] $C(n,k)_B [/mm] = [mm] \binom{n}{k} \Leftrightarrow C(20,5)_B [/mm] = [mm] \binom{20}{5} [/mm] = 15504$

[mm] $C(n,k)_C [/mm] = [mm] \binom{n}{k} \Leftrightarrow C(20,5)_C [/mm] = [mm] \binom{20}{5} [/mm] = 15504$

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Welche Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Fr 08.06.2012
Autor: Leopold_Gast

Die Reihenfolge ist nicht egal:

CABACAABACBAABCAAABC
CACBAAACBABACAABAACB


Das sind zwei Beispiele,
beim ersten stimmt Wähler 1 für C, Wähler 2 für A, Wähler 3 für B usw.,
beim zweiten stimmt Wähler 1 für C, Wähler 2 für A, Wähler 3 für C usw.

Die Anzahl der auf diese Weise möglichen Wörter ist zu bestimmen. Das ist aber ein bekanntes Problem der Kombinatorik. Es ist sozusagen die Fortsetzung der "Bi"nomialkoeffizienten auf höhere Dimensionen, kurzum: es geht um []"Multi"nomialkoeffizienten (lat. bis ~ zweifach, lat. multi ~ viele)

Bezug
                                
Bezug
Welche Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Fr 08.06.2012
Autor: bandchef

Danke für den Hinweis. Das wusste ich bisher nicht! Was es nicht alles gibt!

Danke!

Wenn ich nun diesen Multinomialkoeffizienten berechne, dann komm ich auf dieses Ergebnis:

[mm] $\binom{20}{10,5,5} [/mm] = [mm] \frac{20!}{10!5!5!} [/mm] = 46558512$

Das ist also nun die Anzahl der Möglickeiten. Ich möchte aber die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen

Muss ich also jetzt noch die die Anzahl pro Wort berechnen und diese dann durch die gesamte Anzahl teilen, damit ich auf die Wahrscheinlichkeit komme?

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Welche Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Fr 08.06.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Danke für den Hinweis. Das wusste ich bisher nicht! Was es
> nicht alles gibt!
>  
> Danke!
>  
> Wenn ich nun diesen Multinomialkoeffizienten berechne, dann
> komm ich auf dieses Ergebnis:
>  
> [mm]\binom{20}{10,5,5} = \frac{20!}{10!5!5!} = 46558512[/mm]
>  
> Das ist also nun die Anzahl der Möglickeiten. Ich möchte
> aber die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen
>  
> Muss ich also jetzt noch die die Anzahl pro Wort berechnen
> und diese dann durch die gesamte Anzahl teilen, damit ich
> auf die Wahrscheinlichkeit komme?


Du musst nur noch den Quotienten der bereits berechneten
Werte berechnen:

    [mm] p=\frac{Anzahl\ der\ g\ddot{u}nstigen\ M\ddot{o}glichkeiten}{Anzahl\ aller\ M\ddot{o}glichkeiten} [/mm]

LG


Bezug
                                                
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Welche Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Fr 08.06.2012
Autor: bandchef

Die Anzahl aller Möglichkeiten sollte wohl das Ergebnis des Multinomialkoeffizienten sein.

Aber wie berechnet sich nun die Anzahl der günstigsten Möglichkeiten?

Ist das dann der Binomialkoeffizient?

[mm] $\binom{20}{10} [/mm] = 184756$
[mm] $\binom{20}{5} [/mm] = 15504$
[mm] $\binom{20}{5} [/mm] = 15504$

Muss ich nun diese drei Ergebnisse aufaddieren?

Das sieht dann so aus: [mm] $\frac{184756+15504+15504}{3486784401} \approx [/mm] 0,000062$

Ist aber für eine Wahrscheinlichkeit recht wenig, oder? Wenn die Gegenwahrscheinlichkeit gefragt wäre, ist es etwas viel :-)



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Bezug
Welche Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Fr 08.06.2012
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo,

Du hattest die erforderlichen Werte doch schon:

    $\ m\ =\ [mm] \overline{V}_{3,20}\ [/mm] =\ [mm] 3^{20}\ [/mm] =\ 3486784401$

    $\ g\ =\ [mm] \overline{P}_{(20=10+5+5)}\ [/mm] =\ [mm] \frac{20!}{10!*5!*5!}\ [/mm] =\ 46558512$

Also kommen wir auf

    $\ p\ =\ [mm] \frac{46558512}{3486784401}\ \approx\ [/mm] 0.0134\ [mm] \approx\ \frac{1}{75}$ [/mm]

LG   Al

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