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| Aufgabe | | Betrachte die 5 Verbindungsgraden eines 5zackigen Sternes (in der Mitte ein 5-Eck an dem 5 gleiche Dreiecke anliegen). Dann verteile die Zahlen 1-10 so auf die Eckpunkte, sowie alle Schnittpunkte von Verbindungsgeraden (5 Eckpunkte und die 5 Ecken des inneliegenden 5-Ecks), sodass auf jeder Geraden die gleiche Summe herauskommt. |
Ich hoffe, ich konnte die Aufgabe ohne Skizze einigermaßen verständlich formulieren, es ist einfach ein regulärer 5zackiger Stern mit numerierten Ecken. Auf jeder Geraden liegen immer 4 Punkte, jeder Punkt liegt genau auf zwei Geraden und ein beliebiges Punktepaar kann nicht gleichzeitig auf zwei Geraden liegen.
Bezeichnen wir die Punkte mit den Buchstaben von a-j, dann gilt:
[mm] $\sum^j_{k=a} [/mm] k = [mm] \sum^{10}_{k=1}k [/mm] = [mm] \frac{10\cdot 11}{2}=55$
[/mm]
Weiterhin ist die fragliche Summe x, 5mal(5 Geraden) Summe von genau 4 Punkten. Da jeder Punkt auf zwei Geraden liegt und ein Punktepaar nie gleichzeitig auf mehr als einer Geraden, muss also gelten, dass
[mm] $$5x=2(a+b+c+...+i+j)=2\cdot 55~\Rightarrow~x=22$$
[/mm]
Nun kann man sich alle möglichen Summenkombinationen für 22 mit Zahlen von 1-10 aufschreiben, es sind 18 verschiedene:
[mm] $$\begin{matrix}
10,9,2,1 & 9,8,4,1 & 8,7,6,1 & 7,6,5,4\\
10,8,3,1 & 9,8,3,2 & 8,7,5,2 & {}\\
10,7,4,1 & 9,7,5,1 & 8,7,4,3 & {}\\
10,7,3,2 & 9,7,4,2 & 8,6,5,3 & {}\\
10,6,5,1 & 9,6,5,2 & {} & {}\\
10,6,4,2 & 9,6,4,3 & {} & {}\\
10,5,4,3 & {} & {} & {}
\end{matrix}$$
[/mm]
Klar ist schnell: Weil jede Zahl genau zweimal vorkommt, können höchstens zwei Kombinationen aus der 1. Spalte kommen, genauso verhält es sich mit der zweiten und dritten Spalte. [mm] \newline
[/mm]
In der dritten Spalte(8-er Spalte) sieht man schnell, dass nur eine der Kombinationen verwendet werden darf, jedesmal, wenn man eine zweite hinzufügt, bekommt man ein Zahlenpaar, das in beiden enthalten ist, was widersprüchlich zur Annahme ist.
Folglich muss eine Kombination aus der 7er oder 8er Spalte kommen und je zwei aus der 9er und 10er. [mm] \newline
[/mm]
Man kann es nun ausprobieren, es klappt einfach nicht, man stößt immer auf Paare die gleich sind! Stehe ich auf dem Schlauch oder funktioniert es einfach nicht???
Über Hilfe wäre ich hocherfreut 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Mo 14.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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