www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Weierstraß-Kriterium
Weierstraß-Kriterium < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Weierstraß-Kriterium: Korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:07 Di 14.11.2017
Autor: mathstu

Aufgabe
Formulieren und beweisen Sie ein Weierstraß-Majorantenkriterium für mehrdimensionale Funktionenreihen.

Hallo Matheraum-Community!

Ich soll obige Aufgabe lösen und hab mir dazu auch schon (hoffentlich richtig) überlegt wie das mehrdimensionale Weierstraß-Kriterium aussehen soll:

Sei [mm] M \subset \IC^n [/mm] und [mm]f_k: M \to \IC[/mm]. Sei [mm]\summe_{k \in \IN_{0}^{n}} a_k[/mm] absolut konvergent mit [mm]\parallel f_k \parallel \le a_k \; \forall k \in \IN_{0}^{n}[/mm], dann ist [mm] \summe_{k \in \IN_{0}^{n}} f_k [/mm] absolut gleichmäßig konvergent.

Ist meine Formulierung des Kriteriums so weit korrekt?


Ich habe mir dann hierzu auch einen Beweis überlegt, der ähnlich zu dem Beweis des Weierstraß-Kriteriums in einer Veränderlichen ist.

Also, da [mm]\summe_{k \in \IN_{0}^{n}} a_k[/mm] absolut konvergent ist, existiert nach unserer Vorlesung ein [mm]c \in \IR[/mm] mit  [mm]\summe_{k, k_i \le N \forall i} |a_k| \le c \; \forall N[/mm].
Dass die Funktionenreihe [mm] \summe_{k \in \IN_{0}^{n}} f_k [/mm] absolut gleichmäßig konvergiert, bedeutet dass für eine, und somit für jede (nach dem Riemannschen Umordnungssatz) Bijektion [mm]\sigma:\IN_0 \to \IN_0^n[/mm] die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{n}} f_{\sigma(i)} [/mm] gleichmäßig konvergiert.

Also zeigen wir jetzt dass es so eine Bijektion gibt für die die Reihe dann gleichmäßig konvergent ist. Wir benutzen das mehrdimensionale Cauchy-Kriterium um die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen. Es gilt für [mm]m>n\ge 0[/mm]:
[mm]\left| \summe_{i=n+1}^{m}} f_{\sigma(i)} \right| \le \summe_{i=n+1}^{m}} \left|f_{\sigma(i)}\right| [/mm]   (mit Dreiecksungleichung)
[mm] \le \summe_{k \in \IN_0^n, n+1\le k_i \le m} \parallel f_k\parallel \le \summe_{k \in \IN_0^n, n+1\le k_i \le m} |a_k| \le \summe_{k \in \IN_0^n, k_i \le N} |a_k| [/mm]   (für genügend großes N gilt dann:)

[mm] \le c [/mm]. (Voraussetzung)

Somit würde die Behauptung mit dem Cauchy-Kriterium folgen.

Kann man die das mehrdimensionale Weierstraß-Kriterium so beweisen oder habe ich mich irgendwo vertan?


Viele Grüße,
mathstu

        
Bezug
Weierstraß-Kriterium: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Sa 18.11.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]