Was ist konkret die Dichte? < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Tyvan |
Hallo,
was die Verteilungsfunktion bei stetig verteilten Zufallsvariablen darstellt ist mir klar. Und welchen Zusammenhang sie zur Dichte hat ist mir auch klar. Doch was genau gibt uns die Dichte an?
Ich stelle mir einen Graphen vor der durch die Dichte deutlich gemacht wird.
Logischerweise beschreibt die Fläche darunter den Wert 1 von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty.
[/mm]
Doch wenn ich nun eine Dichtefunktion habe und einen Wert als Parameter den Funktionswert mit der Dichtefunktion ermittele, was habe ich dann?
Was konkret sagt der Funktionswert f(x) der Dichtefunktion aus?
Ich weiss nur das die Fläche von [mm] -\infty [/mm] bis zu x die Wahrscheinlichkeit ist, aber was konkret ist das f(x), also der y-Wert ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Klar:
[mm] F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^x{f(t)\; dt}
[/mm]
also
f(x)=F'(x)
Das bedeutet für ein Interval [a,b]
[mm] P(X\in [a,b])=\int_{a}^b{f(t)\; dt}.
[/mm]
Wenn nun der rechte Rand des Intervals b verschoben wird, dann gilt:
für [mm] c=b+\lambda
[/mm]
[mm] P(X\in [a,c])=\int_{a}^c{f(t)\; dt} [/mm] , dies ist jetzt eine Funktion der rechten begrenzung c, mit
[mm] f(c)=(P(X\in [a,c]))'=(\int_{a}^c{f(t)\; dt})'
[/mm]
D.h. die Dichte gibt die Veränderung der Wahrscheinlichkeit an, wenn man das Interval an dieser Stelle vergrößert. ( Also quasi die Wahrscheinlichkeit an der Stelle(/ in der Umgebung), wenn sie nicht wegen der Stetigkeit 0 wäre.)
Bildlich kann man sich das etwa so vorstellen:
Man zeichnet sich ein Diagramm und trägt alle zufällig erhaltenen Ergebnisse der Zufallsvariablen ein. Dann ist die Dichte, die Dichte der Punkte in der Umgebung um den entsprechenden Wert. [mm] (\pm [/mm] Zufall)
Ciao.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 So 02.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo tyvan,
die Deutung dieses Wertes macht nur Sinn im Hinblick auf die Wahrscheinlichkeitsfunktion, die Du ja schon angesprochen hattest. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, dass in einem Bereich [mm] \delta x [/mm] um den Wert f(x) herum liegt ist, grob gesagt, [mm] f(x)\delta x [/mm]. Bei großem Funktionswert ist die Wahrscheinlichkeit größer als bei einem kleinen Wert. Mehr sollte man nicht hier reininterpretieren.
Viele Grüße,
Infinit
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