Wann bilden Vektoren Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:48 So 08.12.2013 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass drei Vektoren der Form
[mm] (1,x,x^2), (1,y,y^2) (1,z,z^2) [/mm] mit x,y,z Element R
genau dann eine Basis des R3 bilden wenn x ungleich y, x ungleich z und y ungleich z.
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Vektors (0,1,0) bezüglich der Basis x=0 y=1 z=2 aus Teil a) |
Ich bin mir hier sehr unsicher wie ich vorgehen soll, besonders beim ersten Teil.
Meine einzige Idee ist zu sagen, dass (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) eine triviale Basis ist und dann zu zeigen, dass jeder dieser Vektoren sich als Linearkombination aus den gegebenen Vektoren darstellen lässt und zwar nur dann wenn die Bedingung gilt. Dann bekomme ich drei Gleichungspaare der Form:
1: x=-by-cz [mm] x^2=-by^2-cz^2
[/mm]
2: x= k-by-cz [mm] x^2=-by^2-cz^2
[/mm]
3: x=-by-cz [mm] x^2=k-by^2-cz^2 [/mm]
Wobei a,b,c die Koeffiziententerme sind und k eine rationale Zahl. Aber irgendwie komm ich damit nicht weiter, kann mir jemand nen Tipp geben was ich hier machen sollte?
Für b) bin ich auf (-1.5,2,-0.5) gekommen, ist das richtig?
Vielen Dank im Vorraus.
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> a) Zeigen Sie, dass drei Vektoren der Form
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> [mm](1,x,x^2), (1,y,y^2) (1,z,z^2)[/mm] mit x,y,z Element R
>
> genau dann eine Basis des R3 bilden wenn x ungleich y, x
> ungleich z und y ungleich z.
Hallo,
könntest Du Dich bitte mit der Formeleingabe beschäftigen?
Der Komfort für den Leser wäre deutlich erhöht.
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> b) Berechnen Sie die Koordinaten des Vektors (0,1,0)
> bezüglich der Basis x=0 y=1 z=2 aus Teil a)
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> Ich bin mir hier sehr unsicher wie ich vorgehen soll,
> besonders beim ersten Teil.
> Meine einzige Idee ist zu sagen, dass (1,0,0) (0,1,0)
> (0,0,1) eine triviale Basis ist und dann zu zeigen, dass
> jeder dieser Vektoren sich als Linearkombination aus den
> gegebenen Vektoren darstellen lässt
Das kann man wohl so machen.
Aber Du solltest Dir lieber angewöhnen, mit der Def. der linearen Unabhängigkeit zu arbeiten:
sie sind linear unabhängig, wenn
[mm] a\vektor{1\\x\\x^2}+b\vektor{1\\y\\y^2}+c\vektor{1\\z\\z^2}=\vektor{0\\0\\0} [/mm] nur eine Lösung, nämlich a=b=c=0 hat.
Du kannst dafür die Koeffizientenmatrix auf ZSF bringen und dann gucken, unter welchen Bedingungen ihr Rang=3 ist, es also genau eine Lösung gibt.
> und zwar nur dann wenn
> die Bedingung gilt. Dann bekomme ich drei Gleichungspaare
> der Form:
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> 1: x=-by-cz [mm]x^2=-by^2-cz^2[/mm]
>
> 2: x= k-by-cz [mm]x^2=-by^2-cz^2[/mm]
>
> 3: x=-by-cz [mm]x^2=k-by^2-cz^2[/mm]
>
> Wobei a,b,c die Koeffiziententerme sind und k eine
> rationale Zahl.
Eher eine reelle, oder?
Ich sehe nicht richtig, wo die Gleichungen herkommen.
Auf jeden Fall folgt doch k=0.
> Aber irgendwie komm ich damit nicht weiter,
> kann mir jemand nen Tipp geben was ich hier machen sollte?
>
> Für b) bin ich auf (-1.5,2,-0.5) gekommen, ist das
> richtig?
Gucken wir nach:
[mm] -1.5\vektor{1\\0\\0}+2\vektor{1\\1\\1}-0.5\vektor{1\\2\\4}=\vektor{0\\1\\0}.
[/mm]
Stimmt.
LG Angela
> Vielen Dank im Vorraus.
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