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Hallo,
folgenden Aufgabe beschäftigt mich:
Gegegeben ist eine Funktion f mit
f(x) = 0 für x < - [mm] \pi/2
[/mm]
f(x) = 0 für x > [mm] \pi/2
[/mm]
f(x) = 0,5 cos x für - [mm] \pi/2 \le [/mm] x [mm] \le \pi/2
[/mm]
Jetzt soll ich zeigen das f eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.
Aber wie mache ich das denn ? Ich weiss nicht wirklich viel darüber was eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ausmacht .. dadurch wird die ganze Sache nicht unbedingt leichter 
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Sollst du wirklich zeigen, daß das eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Oder sollst du nicht vielmehr zeigen, daß das die Dichte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist?
Im letzteren Fall darf der Graph nicht unterhalb der [mm]x[/mm]-Achse verlaufen und der Flächeninhalt unter der Gesamtkurve muß genau 1 sein. Dann ist das eine Dichte.
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Hi,
ich habe jetzt mal Versucht den Flächeninhalt unter der Kurve auszurechnen. Allerdings ohne durchschlagenden Erfolg ( sinnloses Ergebnis ).
Was ist die Stammfunktion von 0,5*cos(x) ?
Ich dachte: 0,5*sin(x)
Jedenfalls steht das so in meiner Formelsammlung ( cosx dx = sinx + C )
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Hi, Paul,
also:
[mm] \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{0,5cos(x)dx} [/mm] =
[mm] [0,5sin(x)]_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
= [mm] 0,5sin(\bruch{\pi}{2}) [/mm] - [mm] 0,5sin(-\bruch{\pi}{2}) [/mm] = 0,5 - (-0,5) = 1
mfG!
Zwerglein
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Hi,
danke für die Hilfe! Mein Fehler war das ich mit dem Taschenrechner im falschen Maß gerechnet hab ( hab mit Gradmaß gerechnet ).
Ich habe jetzt eine ähnliche Aufgabe wo ich aber wieder nicht so richtig weiter weiß.
f(x) = 0 für x < 3
f(x) = 2 * [mm] e^{ -2 ( x - 3 ) } [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 3
Jetzt soll ich wieder zeigen das es eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Aber diesmal habe ich ja keine eindeutigen Grenzen. So eine e-Funktion hat ja auch keine Nullstelle oder was man sonst als Grenze nutzen könnte. Muss ich da jetzt anfangen mit [mm] \infty [/mm] rumzudoktorn ?
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Hallo,
> f(x) = 0 für x < 3
>
> f(x) = 2 * [mm]e^{ -2 ( x - 3 ) }[/mm] für x [mm]\ge[/mm] 3
>
> Jetzt soll ich wieder zeigen das es eine
> Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Aber diesmal habe ich ja
> keine eindeutigen Grenzen. So eine e-Funktion hat ja auch
> keine Nullstelle oder was man sonst als Grenze nutzen
> könnte. Muss ich da jetzt anfangen mit [mm]\infty[/mm] rumzudoktorn
> ?
Ja! Du musst das uneigentliche Integral [mm]\integral_{3}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] berechnen. Is aber halb so wild:
[mm] \limes_{c\rightarrow\infty} \integral_{3}^{c}{2*e^{-2(x-3)} dx}=
2*e^6*\limes_{c\rightarrow\infty} \integral_{3}^{c}{e^{-2x} dx}=[/mm]
[mm] 2*e^6*\limes_{c\rightarrow\infty} [-\bruch{1}{2}*e^{-2x}]_{3}^{c} = -e^6*\limes_{c\rightarrow\infty}(e^{-2c}-e^{-6})=-e^6*(-e^{-6})=1[/mm] denn [mm]\limes_{c\rightarrow\infty} e^{-2c} = \limes_{c\rightarrow\infty} \bruch{1}{e^2c} =0[/mm] da natürlich der Nenner gegen unendlich geht.
mfG
Daniel
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Hi,
ok soweit so gut. Lag ich mit meiner Vermutung ja garnicht so verkehrt. Aber diese Lim Geschichten schrecken mich meistens ab.
Ich soll jetzt noch E(X) also den Erwartungswert und
D²(X) berechnen.
Wie man einen Erwartungswert berechnet weiss ich. Aber eben nur wenn ich auch weiss für welche Werte ( zB 1 bis 10 ). Aber hier geht es ja gegen unendlich. Wie errechnet man da einen Erwartungswert ? Da hab ich schon Probleme mir überhaupt vorzustellen wo der liegen könnte wenn es gegen unendlich geht.
Wie man D²(X) also eine Steuung ausrechnet ist mir leider gänzlich rätselhaft. Aber soviel weiss ich schon: ohne E(X) gibts ganz bestimmt auch keine Steuung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Sa 01.10.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo PaulPanther2,
hier hilft Dir nur die Mathematik weiter:
$ E(X)= [mm] \integral_{3}^{\infty} [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(x) dx $
Ich gebe zu, da muss man einiges rechnen, aber die obere Grenze $ [mm] \infty [/mm] $ liefert keinen Beitrag zum Integral.
Für die Streuung, ich nehme an, Du meinst damit die Varianz, gibt es eine ähnliche Gleichung, die man umformen kann in
$ [mm] \sigma^{2} [/mm] (X) = [mm] E(X^{2}) [/mm] - [mm] (E(X))^{2}. [/mm] E(X) $ kennst Du ja dann bereits aus dem oberen Teil der Aufgabe, bleibt also nur noch $ [mm] E(X^{2}) [/mm] $ auszurechnen und das geht, indem Du in der ersten Gleichung, aus der sich der Erwartungswert ergab, $ x$ durch $ [mm] x^{2}$ [/mm] ersetzt und dann beginnt wieder das große Integrieren. Du siehst, man muss schon einiges an Rechenzeit reinstecken, aber eine Lösung gibt es.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo,
[mm] \integral_{3}^{ \infty} [/mm] { x * [mm] e^{-2(x-3)} [/mm] dx}
wie integriert man sowas ? Sind ja praktisch 2 Faktoren. Beim ableiten würd ich die Produktregel anwenden. Wie muss man beim integrieren vorgehen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo PaulPanther!
Derartige Integrale löst man mit dem Verfahren der  partiellen Integration.
Dabei setzt Du:
$u\ := \ x$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ 1$
$v' \ := \ [mm] e^{-2(x-3)}$ $\Rightarrow$ [/mm] $v \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*e^{-2(x-3)}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hi,
danke für die antwort loddar. Langsam kommt ein wenig licht ins dunkel. Aber nocht nicht genug leider.
also ich habe die regel zur partiellen integration angewendet.
u*v - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {uv' dx}
= x* ( - 0.5 * [mm] e^{-2*(x-3)} [/mm] ) - [mm] \integral_{3}^{ \infty} {e^{-2*(x-3)} dx}
[/mm]
= - 0.5 * x * [mm] e^{-2*(x-3)} [/mm] - ( [mm] -2*e^{-2*(x-3)} [/mm] )
Ist das soweit richtig ?
Jetzt müsste ich ja praktisch [mm] \infty [/mm] und 3 einsetzen und die differenz bilden aber ich kann doch nicht [mm] \infty [/mm] einsetzen ( verzweifel ).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo PaulPanther!
> u*v - [mm]\integral_{}^{}[/mm] {uv' dx} = x* ( - 0.5 * [mm]e^{-2*(x-3)}[/mm] ) - [mm]\integral_{3}^{ \infty} {e^{-2*(x-3)} dx}[/mm]
>
> = - 0.5 * x * [mm]e^{-2*(x-3)}[/mm] - ( [mm]-2*e^{-2*(x-3)}[/mm] )
>
> Ist das soweit richtig ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Im letzten Term muss der Faktor vor der e-Funktion [mm] $-\bruch{1}{2}$ [/mm] lauten (nicht $-2_$).
Und irgendwo hast Du noch einen weiteren Faktor [mm] $-\bruch{1}{2}$ [/mm] unterschlagen:
$... \ = \ [mm] x*\left(-\bruch{1}{2}*e^{-2(x-3)}\right) [/mm] - [mm] \integral{1*\left(-\bruch{1}{2}*e^{-2(x-3)}\right) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*x*e^{-2(x-3)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\integral{e^{-2(x-3)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*x*e^{-2(x-3)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\left(-\bruch{1}{2}*e^{-2(x-3)}\right) [/mm] \ = \ ...$
> Jetzt müsste ich ja praktisch [mm]\infty[/mm] und 3 einsetzen und
> die differenz bilden aber ich kann doch nicht [mm]\infty[/mm]
> einsetzen ( verzweifel ).
Aber Du kannst eine Grenzwertbetrachtung machen.
Setze als obere Grenze z.B. die Variable $A_$ und lasse dann $A_$ gegen Unendlich laufen.
[mm] $\integral_{3}^{\infty}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{A\rightarrow \infty}\integral_{3}^{A}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{A\rightarrow \infty}\left[F(A)-F(3)\right] [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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Hi,
ich hab mich da mal durchgewurstelt ...
Am ende kommt 0,25 raus. Kann das sein ? Klingt für mich garnicht so schlecht ..
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Hi PaulPanther,
Mein Matheprogramm sagt mir dass [mm]\bruch{7}{4}[/mm] rauskommt...
Also nochmal genau nachrechnen.
mfg
Daniel
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