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Wahrscheinlichkeitsrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 So 20.05.2012
Autor: Mathics

Angenommen man hat 30 Schüler und 5 Karten, die man unter den Schülern verteilt.

- Ziehen ohne Zurücklegen: Es gibt n! Möglichkeiten, also 30*29*28*27*26

Angenommen man spielt Lotto 6 aus 49.

- Da gibt es nun aber [mm] \vektor{49 \\ 6} [/mm] Möglichkeiten. Aber wieso? Das ist doch auch Ziehen ohne Zurücklegen oder nicht.

Hier gibt es aber auf einmal 49*48*47*46*45/(6*5*4*3*2*1) Möglichkeiten.

Was bedeutet [mm] \vektor{49 \\ 6} [/mm] eigentlich.

Und als letztes: Warum gibt es bei der Binomialverteilung zu einem Zufallsereignis X [mm] \vektor{n \\k} [/mm] Pfade bzw. Möglichkeiten?

Beim Ziehen mit Zurücklegen gibt es doch [mm] n^k [/mm] Möglichkeiten, oder nicht?

Danke

LG

        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:02 So 20.05.2012
Autor: Diophant

Hallo,

zunächst: du musst die Dinge präziser formulieren!

> Angenommen man hat 30 Schüler und 5 Karten, die man unter
> den Schülern verteilt.
>
> - Ziehen ohne Zurücklegen: Es gibt n! Möglichkeiten, also
> 30*29*28*27*26

Wenn das so gemeint ist, dass die Karten unterscheidbar sind, dass kein Schüler mehr als eine Karte bekommt und es eine Rolle spielt, welcher Schüler welche karte bekommt, dann ist das so. Denn: für die erste Karte gibt es 30 Möglichkeiten, für die zweite noch 29, usw.

>
> Angenommen man spielt Lotto 6 aus 49.
>
> - Da gibt es nun aber [mm]\vektor{49 \\ 6}[/mm] Möglichkeiten. Aber
> wieso? Das ist doch auch Ziehen ohne Zurücklegen oder
> nicht.

Bei Lotto wird die Reihenfolge niocht beachtet, in der die Kugeln gezogen werden.

>
> Hier gibt es aber auf einmal 49*48*47*46*45/(6*5*4*3*2*1)
> Möglichkeiten.
>
> Was bedeutet [mm]\vektor{49 \\ 6}[/mm] eigentlich.

Der Binomialkoeffizient ist definiert durch

[mm] \vektor{n}{k}=\bruch{n!}{n!*(k-n)!} [/mm]

Er zählt genau die Anzahl der Möglichkeiten, die es beim Ziehen von k Kugeln aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln gibt, wenn die Kugeln nicht zurückgelegt werden und die Reihenfolge nicht beachtet wird.

> Und als letztes: Warum gibt es bei der Binomialverteilung
> zu einem Zufallsereignis X [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] Pfade bzw.
> Möglichkeiten?
>
> Beim Ziehen mit Zurücklegen gibt es doch [mm]n^k[/mm]
> Möglichkeiten, oder nicht?

Es ist auch kein Ziehen mit Zurücklegen. Wenn ein Bernoulli-Experiment n-mal durchgeführt wird, so kannst du das identifizieren mit einer Urne mit n Kugeln. Die Wakhrscheionlichkeit für k Treffer ist gesucht, d.h. man berechnet im Prinzip zunächst die Wahrscheinlichkeit für k-mal Treffer und (n-k)-mal kein Treffer. Diese Wahrscheinlichkeit muss jetzt noch mit der Anzahl der Reihenfolgen, in denen dieses Ereignis 'k Treffer' eintreten kann, multipliziert werden. Es kann ja nicht ein und dieselbe Durchführung des Experiments mehrfach auftreten, deshalb liegt Ziehen ohne Zurücklegen vor. Und: die Treffer werden nicht unterschieden, daher gibt es keine BEachtung der Reihenfolge. Diese erklärt zusammen, weshalb man als Zählfaktor eben den Binomialkoeffizient zwangsläufig benötigt.


Gruß, Diophant


Bezug
                
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Wahrscheinlichkeitsrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:16 So 20.05.2012
Autor: Mathics

Könntest du mir das mit der Reigenfolge vielleicht nocheimal erklären.

Beim Verteilen der Karten können ja die Namen in dieser Reihenfolge drankommen: Hans, Peter, Lukas, Karl und Jürgen.

Und beim Lottoziehen ist es letztlich egal ob es 1,2,3,4,5,6, oder 4,3,5,1,2,6 ist, oder?

Wenn man die Wahrscheinlichkeit für Ziehen mit Zurücklegen berechnet, rechnet man dort doch auch mit der Binomialverteilung oder nicht? Ich mein, wenn wir sagen 3 Jungen (p=0,7) müssen gezogen werden und die Karten können wir zurückgelegt werden. Dann ändert sich ja die Erfolgswahrscheinlichkeit nicht und wir können doch rechen [mm] P(x=3)=\vektor{5 \\ 3} [/mm] * [mm] 0,7^3 [/mm] * [mm] 0,3^2. [/mm]




Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:36 So 20.05.2012
Autor: Diophant

Hallo Mathics,

versuche, deine Fragen in kleinere Einzelfragen zu gliedern und dafür präziser auszudrücken.

> Könntest du mir das mit der Reigenfolge vielleicht
> nocheimal erklären.
>
> Beim Verteilen der Karten können ja die Namen in dieser
> Reihenfolge drankommen: Hans, Peter, Lukas, Karl und
> Jürgen.
>
> Und beim Lottoziehen ist es letztlich egal ob es
> 1,2,3,4,5,6, oder 4,3,5,1,2,6 ist, oder?

Ja, genau so ist es. Beim Lotto wird das ja auch noch dadurch besonders deutlich, dass die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, durch das nachträgliche Ordnen in aufsteigender Reihenfolge zunichte gemacht wird.

>
> Wenn man die Wahrscheinlichkeit für Ziehen mit
> Zurücklegen berechnet, rechnet man dort doch auch mit der
> Binomialverteilung oder nicht?

Du vermengst hier mehrere Dinge miteinander, das ist ein bisschen schwierig, das aufzudröseln. Man kann beim Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen sich dafür interessieren, ob ein bestimmtes Ereignis genau bzw. höchstens k-mal auftritt. Da zurückgelegt wird, ändert sich von Zug zu Zug die Reihenfolge nicht. Da uns nur interessiert, ob ein bestimmtes Merkmal auftritt oder nicht, ist es eine Bernoullikette und daher berechnet man die beiden oben beschriebenen Wahrscheinlichkeiten mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. der kumuliwerten Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung. Dabei hat aber das eigentliche Experiment (Ziehen mit Zurücklegen) mit der Anwendung des Binomialkoeffizienten nicht unmittelbar etwas zu tun.

> Ich mein, wenn wir sagen 3
> Jungen (p=0,7) müssen gezogen werden und die Karten
> können wir zurückgelegt werden. Dann ändert sich ja die
> Erfolgswahrscheinlichkeit nicht und wir können doch rechen
> [mm]P(x=3)=\vektor{5 \\ 3}[/mm] * [mm]0,7^3[/mm] * [mm]0,3^2.[/mm]

Ja, aber das hat eben mit der Anzahl der Möghlichkeiten aus der Augangsfrage überhaupt nichts zu tun!


Gruß, Diophant

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