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| Aufgabe | | Das Organisationskomittee einer lokalen Festlichkeit vereinbart mit dem Partyservice den Teilnehmern der Veranstaltung drei Menüs zu 3,4 und 8 Euro anzubieten. Aus Erfahrung weiß man, dass die Hälfte der Gäste sich für das 4-Euro Menü entscheiden wird, 35 % für das 3-Euro Menü und das Luxusmenü von den verbleibenden 15 % gewählt wird. Man nimmt an, dass die Gäste sich kaum wechselseitig beeinflussen und stuft deshalb ihr verhalten als unabhängig ein. Welcher Mindestumsatz wird dann mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % vereinnahmt, wenn a) 500 und b) 1000 Teilnehmer kommen. (Hinweis: Betrachten Sie den durchschnittlichen Umsatz pro Teilnehmer) |
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Hallo
Ich steh irgendwie auf dem Schlauch. Kann mir bitte einer sagen wie ich bei dieser Aufgabe vorgehe...
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Do 15.07.2010 | | Autor: | DesterX |
Hallo Moselfeuer.
Deine Verteilung kannst du dir ja aus der Aufgabe konstruieren,
nämlich:
$P(X=3)=0.35$,
$P(X=4)=0.5$,
$P(X=8)=0.15$.
Berechne nun den Erwartungswert [mm] $\mu$, [/mm] sowie die Standardabweichung [mm] $\sigma$. [/mm] (Zur Probe: Ich erhalte [mm] $\mu=4,25$ [/mm] und [mm] $\sigma \approx [/mm] 1.64$)
Nun führst du "das Experiment" n-mal durch (zB $n=500$), wobei jeder "Versuch" unabhängig(nach Aufgabe), identisch verteilt ist.
Uns interessiert die Summenverteilung [mm] $S_n=X_1+\ldots+X_n$ [/mm] (der Gesamtumsatz) und zwar soll gelten: [mm] $P(S_n \ge [/mm] k) =0.95$ bzw. $1- [mm] P(S_n [/mm] < k) =0.95$.
Da die Konstruktion der Summenverteilung recht aufwändig wäre, kommt uns der zentrale Grenzwertsatz entgegen, dessen Voraussetzungen hier erfüllt sind.
Und zwar verhält sich [mm] $P(Z_n \le [/mm] k)$ mit [mm] $Z_n [/mm] = [mm] \frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}}$ [/mm] in etwa wie die Standardnormalverteilung [mm] $\Phi(k). [/mm] Kommst du nun alleine weiter?
Viele Grüße, Dester
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