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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 So 11.11.2007 | | Autor: | Waldifee |
| Aufgabe | Wir nehmen an, in einer Urne befänden sich 20 Kugeln; 15 schwarze und 5 weiße. Nacheinander werden zufällig 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Es gilt: Ω = {(sss), (ssw), (sws), (sww), (wss), (wsw), (wws), (www)} . Wir schreibe, z.B. (sws) wenn zuerst eine schwarze, dann eine weiße, dann wieder eine schwarze Kugel gezogen wird. Wenn wir [mm] (sws)=w_{3} [/mm] schreiben, meinen wir damit, dass wir das Elementarereignis auch [mm] w_{3} [/mm] nennen. Welche der Aussagen bezgl. des Wahrscheinlichkeitsraumes sind korrekt?
a) Ω = (sss), (www), (sws), (sww), (wsw), (wss), (ssw), (wws)
b) Ω = {(sss), (www), (sws), (sww), (wsw), (wss), (ssw), (wws)}
c) [mm] P(w_{1}) [/mm] = 27/64; [mm] P(w_{2})=P(w_{3})=P(w_{5})=9/64; P(w_{4})=P(w_{6})=P(w_{7})=3/64; P(w_{8})=1/64
[/mm]
d) [mm] P(w_{i})=1/8 \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,2,3,4,5,6,7,8}
e) keine der Antworten ist richtig |
Ganz rational würde ich sagen die antwort b und c sind korrekt. Doch beim nährern Betrachten der Aufgabe frage ich mich, ob ich die Elementarereignisse, einfach so vertauschen darf, also z.B. [mm] w_{2} [/mm] an die Stelle [mm] w_{7} [/mm] verschieben darf?
Dann würde ja auch meine Ergebnis bei c nicht mehr stimmen!?
Danke für eure Hinweise!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 So 11.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Waldifee,
zunaechst erst einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hast hier eine endliche Ergbnismenge [mm] $\Omega=\{w_1,...,w_n\}$. [/mm] Leider
werden uns keine weiteren Informationen gegeben. Um einen
Wahrscheinlichkeitsraum anzugeben, braucht man noch eine [mm] $\sigma$-Algebra
[/mm]
und ein W-Mass. Dann machen wir uns es erst mal ganz leicht, und waehlen
als [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] die Menge aller Teilmengen von [mm] $\Omega$, [/mm] also die
Potenzmenge. Dann kann man ein Wahrscheinlichkeitsmass durch [mm] $P(\{w_i\})=p_i$
[/mm]
definieren mit [mm] $p_i\ge [/mm] 0$ fuer $i=1,...,n$ und [mm] $\sum_1^np_i=1$. [/mm] Fuer
ein allgemeines Ereignis [mm] $A\subset\Omega$ [/mm] ist dann [mm] $P(A)=\sum_{w_i\in
A}p_i$.
[/mm]
So viel zum Vorspiel. Wir sehen, dass wir verschiedene Moeglichkeiten
haben, die Wahrscheinlichkeitsfunktion P zu definieren. Im vorliegenden
Fall koennten wir beispielsweise festlegen [mm] $p_1=...=p_7=1/9$, $p_8=2/9$
[/mm]
oder [mm] $p_1=...=p_8=1/8$ [/mm] (Laplace-Modell). Beide erscheinen jedoch nicht
angemessen. Angemessener ist die Festlegung
$ [mm] P(\{w_{1}\})= [/mm] 27/64; $ [mm] P(\{w_{2}\})=P(\{w_{3}\})=P(\{w_{5}\})=9/64;
[/mm]
[mm] P(\{w_{4}\})=P(\{w_{6}\})=P(\{w_{7}\})=3/64; P(\{w_{8}\})=1/64 [/mm] $
Wo ist der Unterschied bei a) und b)?
Bei c) stimmt die Notation nicht.
d) ist nicht "falsch", aber nicht angemessen.
lg
Luis
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