Wahrscheinlichkeitsmaß, Eig. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Di 26.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wir stellen und auf den axiomatischen Standpunkt und nehmen an, dass für jedes Ergebnis [mm] \omega \in \Omega [/mm] die Wahrscheinlichkeit gegeben ist, das gerade [mm] \omega [/mm] eintritt. Wir bezeichnen diese W-keit mit
[mm] p(\omega):= P(\{\omega\}) \in [/mm] [0,1]
Wir setzten vorraus, dass siese W.keiten normiert sind:
[mm] \sum_{\omega \in \Omega} p(\omega)=1
[/mm]
Als die Klasse [mm] \mathcal{A} [/mm] der beobachtbaren Ereginisse nehmen wir die Potenzmege [mm] P(\Omega) [/mm] von [mm] \Omega:
[/mm]
[mm] \mathcal{A} [/mm] = [mm] P(\Omega)
[/mm]
und auf [mm] \mathcal{A} [/mm] defenieren wird
P(A) [mm] =\sum_{\omega \in A} p(\omega), [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
Offensichtlich gilt [mm] P(\Omega)=1 [/mm] und die Sigmaadditivität.
Man sieht sofort:
[mm] P(A^c) [/mm] = 1- P(A)
P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B)
A [mm] \subseteq [/mm] B => P(A) [mm] \le [/mm] P(B) |
Servus, das "Man sieht sofort.." hat mich etwas irritiert.
Hab mal versucht das leicht zu sehen:
-)
P(A [mm] \cup [/mm] B) + P(A [mm] \cap B)=\sum_{\omega \in A \cup B} p(\omega) [/mm] + [mm] \sum_{\omega \in A \cap B} p(\omega) [/mm] = [mm] \sum_{\omega \in A \setminus B, \omega \in B \setminus A , \omega \in A \cap B} p(\omega) [/mm] + [mm] \sum_{\omega \in A \cap B} p(\omega) [/mm] = [mm] \sum_{\omega \in A \setminus B } p(\omega)+ \sum_{\omega \in B \setminus A} p(\omega)+ [/mm] 2 [mm] \sum_{\omega \in A \cap B} p(\omega) [/mm] = [mm] \sum_{\omega \in A } p(\omega)+ \sum_{\omega \in B } p(\omega) [/mm] = P(A) + P(B)
-)setzte B = [mm] A^c
[/mm]
[mm] P(\Omega) [/mm] = P(A) + [mm] P(A^c) [/mm]
<=> 1= P(A) + [mm] P(A^c)
[/mm]
-) P(B)= [mm] \sum_{\omega \in B} p(\omega) [/mm] = [mm] \sum_{\omega \in A, \omega \in B \setminus A} p(\omega) \ge \sum_{\omega \in A } p(\omega) [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Di 26.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wir stellen und auf den axiomatischen Standpunkt und nehmen
> an, dass für jedes Ergebnis [mm]\omega \in \Omega[/mm] die
> Wahrscheinlichkeit gegeben ist, das gerade [mm]\omega[/mm] eintritt.
> Wir bezeichnen diese W-keit mit
> [mm]p(\omega):= P(\{\omega\}) \in[/mm] [0,1]
> Wir setzten vorraus, dass siese W.keiten normiert sind:
> [mm]\sum_{\omega \in \Omega} p(\omega)=1[/mm]
> Als die Klasse
> [mm]\mathcal{A}[/mm] der beobachtbaren Ereginisse nehmen wir die
> Potenzmege [mm]P(\Omega)[/mm] von [mm]\Omega:[/mm]
> [mm]\mathcal{A}[/mm] = [mm]P(\Omega)[/mm]
> und auf [mm]\mathcal{A}[/mm] defenieren wird
> P(A) [mm]=\sum_{\omega \in A} p(\omega),[/mm] A [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
>
> Offensichtlich gilt [mm]P(\Omega)=1[/mm] und die Sigmaadditivität.
>
> Man sieht sofort:
> [mm]P(A^c)[/mm] = 1- P(A)
> P(A [mm]\cup[/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm]\cap[/mm] B)
> A [mm]\subseteq[/mm] B => P(A) [mm]\le[/mm] P(B)
> Servus, das "Man sieht sofort.." hat mich etwas
> irritiert.
> Hab mal versucht das leicht zu sehen:
>
> -)
> P(A [mm]\cup[/mm] B) + P(A [mm]\cap B)=\sum_{\omega \in A \cup B} p(\omega)[/mm]
> + [mm]\sum_{\omega \in A \cap B} p(\omega)[/mm] = [mm]\sum_{\omega \in A \setminus B, \omega \in B \setminus A , \omega \in A \cap B} p(\omega)[/mm]
Schau Dir in [mm] \sum_{\omega \in A \setminus B, \omega \in B \setminus A , \omega \in A \cap B} p(\omega) [/mm] mal an, über welche [mm] \omega [/mm] Du summierst !
Ein [mm] \omega \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B mit [mm] \omega \in [/mm] B [mm] \setminus [/mm] A gibt es nicht !
> + [mm]\sum_{\omega \in A \cap B} p(\omega)[/mm] = [mm]\sum_{\omega \in A \setminus B } p(\omega)+ \sum_{\omega \in B \setminus A} p(\omega)+[/mm]
> 2 [mm]\sum_{\omega \in A \cap B} p(\omega)[/mm] = [mm]\sum_{\omega \in A } p(\omega)+ \sum_{\omega \in B } p(\omega)[/mm]
> = P(A) + P(B)
>
> -)setzte B = [mm]A^c[/mm]
> [mm]P(\Omega)[/mm] = P(A) + [mm]P(A^c)[/mm]
> <=> 1= P(A) + [mm]P(A^c)[/mm]
>
> -) P(B)= [mm]\sum_{\omega \in B} p(\omega)[/mm] = [mm]\sum_{\omega \in A, \omega \in B \setminus A} p(\omega)
Wieder: ein \omega \in A mit \omega \in B \setminus A gibt es nicht !
FRED
\ge \sum_{\omega \in A } p(\omega)[/mm]
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Di 26.03.2013 | | Autor: | sissile |
Ich meinte das anders, hab es aber wahrscheinlich falsch aufgeschrieben.
Ich wollte zuerst alle [mm] p(\omega) \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B aufusmmieren DANN alle [mm] p(\omega) \in [/mm] B [mm] \setminus [/mm] A und DANN alle [mm] p(\omega) \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B.
Da es dasselbe ist wie alle [mm] p(\omega) \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B auzusummieren.
Wie kann ich dass denn in der rechnung richtig stellen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Mi 27.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Wie kann ich dass denn in der rechnung richtig stellen?
Am Beispiel der unteren Rechnung:
[mm] $P(B)=\sum_{\omega \in B} p(\omega)=\sum_{\omega \in A}p(\omega)+\sum_{\omega \in B \setminus A} p(\omega) \ge \sum_{\omega \in A } p(\omega)=P(A)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Mi 27.03.2013 | | Autor: | sissile |
Danke an euch beide!
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