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Forum "Uni-Stochastik" - Wahrscheinlichkeitsdichte
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Wahrscheinlichkeitsdichte: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:09 Fr 27.01.2017
Autor: AragornII

Aufgabe
Seien [mm] f_c:\IR \to \IR [/mm] def durch [mm] f_c(t)=\left\{\begin{matrix} c*sin^2(t), & \mbox{t element }0\mbox{bis pi} \\ 0, & \mbox{sonst }\mbox{} \end{matrix}\right. [/mm]
und [mm] c\in\IR [/mm]

i) Zeigen Sie, dass [mm] f_c(t) [/mm] eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.

ii) Sei X eine Zufallsvariable mit Dichte [mm] f_\frac{\pi}{2} [/mm] (pi halbe, scheint bisschen klein zu sein). Gesucht ist die Dichte von [mm] Y=X-\frac{\pi}{2} [/mm]

Guten Abend, zu i) habe ich keine Frage da habe ich [mm] c=\frac{2}{\pi}, f_c [/mm] ist messbar daraus folgt die Stetigkeit. und dass [mm] f_c [/mm] halt nicht negativ ist.

bei ii) bin ich mir nicht sicher... und komme auch nicht weiter..

Es gilt: [mm] F_y(t)=P(Y \le [/mm] t) = P(X [mm] \le t+\frac{\pi}{2}) [/mm] =

[mm] F_X(t+\frac{\pi}{2}) =\left\{\begin{matrix} 0, & \mbox{t<-pi/2 }\mbox{} \\ Integral von f_\frac{2}{\pi}, & \mbox{ t+pi/2 }\mbox{ element 0 bis pi} \\ 1, & \mbox{t>pi/2}\mbox{} \end{matrix}\right. [/mm]

nun kommt mein Problem:

In der Mitte müsste ja das Integral noch rein.

[mm] \integral \frac{2}{\pi}sin^2(t+\frac{\pi}{2})\, [/mm] dt

[mm] sin^2(t+\frac{\pi}{2})=cos^2(t) [/mm]

also ist das Integral [mm] \frac{2cos^2(t)}{\pi} [/mm] wäre das erstmal bis hierhin richtig?

Wenn ja dann setze ich die Lösung des Integrals oben noch ein. Dann gilt, dass [mm] F_Y [/mm] stetig ist und stückweise diffbar.
Was mache ich danach wenn es jetzt bis hierhin richtig ist?
oder ist schon was falsches dabei ^^

PS: Bei dieser Aufgabe hatte ich schwierigkeiten bei der Latex-Schreibweise ich hoffe ihr nimmt mir es nicht übel habe fast 35min dafür gebraucht ^^



        
Bezug
Wahrscheinlichkeitsdichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:59 Fr 27.01.2017
Autor: Leopold_Gast

Schon die Formulierung von i) stimmt mich bedenklich. Nicht für jedes [mm]c[/mm] liegt eine Wahrscheinlichkeitsdichte vor. Du selber hast die Aufgabe ja auch anders aufgefaßt, nämlich [mm]c[/mm] so zu bestimmen, daß [mm]f_c[/mm] eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
Das geht bei ii) gerade so weiter: Für [mm]c = \frac{\pi}{2}[/mm] haben wir es nicht mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte zu tun.

Überprüfe deine Angaben.

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Wahrscheinlichkeitsdichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Fr 27.01.2017
Autor: AragornII

Hallo,

(Ich habe die frage falsch aufgeschrieben, ich soll c so bestimmen dass es eine W-keitdichte ist) ja gestern war es spät ^^

ich habe für [mm] c=\frac{2}{\pi} [/mm] und nicht umgekehrt. [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] kommt nur bei aufgabenteil ii) vor.

einzelne Schritte:

c [mm] \integral_{0}^{\pi} sin^2(t)\, [/mm] dt = [mm] c*\frac{\pi}{2}=1 [/mm] und das ist gleich [mm] c=\frac{2}{\pi}. [/mm] Das müsste doch richtig sein?? oder

da für alle c [mm] \ge [/mm] 0 gilt, ist auch [mm] f_c \ge [/mm] 0 (also nur positiv)

[mm] f_c [/mm] ist messbar, da stetig für alle [mm] c\in\IR [/mm]

bei ii) habe ich [mm] Y=X-\frac{\pi}{2} [/mm] gegeben. und da wird es schwer für mich..

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Wahrscheinlichkeitsdichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Fr 27.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> (Ich habe die frage falsch aufgeschrieben, ich soll c so
> bestimmen dass es eine W-keitdichte ist) ja gestern war es
> spät ^^

>

> ich habe für [mm]c=\frac{2}{\pi}[/mm] und nicht umgekehrt.
> [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] kommt nur bei aufgabenteil ii) vor.

>

> einzelne Schritte:

>

> c [mm]\integral_{0}^{\pi} sin^2(t)\,[/mm] dt = [mm]c*\frac{\pi}{2}=1[/mm] und
> das ist gleich [mm]c=\frac{2}{\pi}.[/mm] Das müsste doch richtig
> sein?? oder

Ja, das ist richtig.

> da für alle c [mm]\ge[/mm] 0 gilt, ist auch [mm]f_c \ge[/mm] 0 (also nur
> positiv)

>

> [mm]f_c[/mm] ist messbar, da stetig für alle [mm]c\in\IR[/mm]

>

> bei ii) habe ich [mm]Y=X-\frac{\pi}{2}[/mm] gegeben. und da wird es
> schwer für mich..

Das hast du doch im Startbeitrag auch richtig gelöst (ich denke, Leopold_Gast hat das ja nur wegen der zunächst falschen Aufgabenstellung angezweifelt). Also ich sehe die Aufgabe (mit der jetzt korrekten Aufgabenstellung) als komplett und richtig gelöst an.


Gruß, Diophant

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Wahrscheinlichkeitsdichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 Fr 27.01.2017
Autor: AragornII

Hallo und danke nochmal.

Aufgabenteil ii) war ja noch nicht fertig oder?
Da komme ich ja nicht weiter, oder ist das auch schon vollständig?


LG


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Wahrscheinlichkeitsdichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Fr 27.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

doch, auch mit der ii) bist du fertig, was sollte denn noch fehlen?

Gruß, Diophant

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Wahrscheinlichkeitsdichte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:32 Fr 27.01.2017
Autor: Omega91

Hallo,


die Dichte ist gesucht - bei ii) hat er mal die Verteilungsfunktion angeschrieben.

Lg

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Wahrscheinlichkeitsdichte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 Fr 27.01.2017
Autor: AragornII

Also muss ich noch was machen?

Ich habe die Verteilungsfunktion aufgeschrieben gesucht ist die Dichte.

müsste ich dann einfach nur $ [mm] \frac{2cos^2(t)}{\pi} [/mm] $ ableiten? Um von meine Verteilung auf die Dichte zu kommen?

Wenn ich es ableite komme ich auf.
[mm] $-\frac{4*sin(t)cos(t)}{\pi}$ [/mm]

bin jetzt verwirrt ^^




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Wahrscheinlichkeitsdichte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Fr 27.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

sorry für das Missverständnis. Aber der Rest ist doch einfach: die Ableitung eines Integrals ist der Integrand. Oder kurz: du musst noch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung beachten.

Gruß, Diophant

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