Wahrscheinlichkeit berechnen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | a) Ein Student steht vor einer Prufung. Um sie zu bestehen, mu er vier zufallig gewahlte Fragen aus einer Liste von 60 Fragen nacheinander richtig beantworten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er besteht, wenn er 80% der Fragen der Liste beherrscht?
b) Howard Wolowitz hat eine Erdnussallergie. Bei Verzehr von Erdnüssen tritt bei ihm mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99 eine allergische Reaktion auf. Bei Verzehr von Nahrung, die nachweislich frei von Erdnussallergenen ist, tritt bei ihm mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,03 eine allergische Reaktion auf (Eine Kreuzreaktion bedingt durch ähnliche Allergene, z.B. bei Soja).
Eine bestimmte Schokolade kann Spuren von Erdnüssen enthalten. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie tatsächlich Erdnussallergene enthält, beträgt 0,06. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält die Schokolade Erdnüsse, gegeben Howard Wolowitz hat nach Verzehr eine allergische Reaktion?
c) 8 Menschen setzen sich zufällig an einen runden Tisch (darunter A und B). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B nebeneinander sitzen?
d)In einem Lager befinden sich 50 alte Glühbirnen. Genau vier davon sind kaputt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter vier zufällig aus dem Lager gezogenen Birnen genau zwei kaputte Birnen befinden?
e) Zu einer Vorlesung gibt es die vier Übungsgruppen A, B, C und D. In den Gruppen A, B, C und D geben 10, 12, 8 bzw. 12 Studierende die bearbeiteten Übungsaufgaben ab. Die abgegebenen Übungsblätter werden auf einem Haufen in "rein zufälliger'' Reihenfolge gesammelt. Nun zieht der Assistent von diesem Haufen nacheinander vier Übungsblätter. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass erst das vierte Übungsblatt aus der Übungsgruppe A ist. |
Hallo. Hier meine Ideen:
zu a) [mm] \vektor{60 \\ 4} 0,8^4 [/mm] * [mm] 0,2^{56}
[/mm]
Dazu noch eine Frage: Wie ändert sich die Vorgehensweise, wenn man auf das „nacheinander“ verzichtet?
zu b)
P(E|R)= [mm] \bruch{0.06*0,99}{0,06*0,09+0,03*0,94}= [/mm] 99/146
zu c)
[mm] \bruch{2*8*6!}{8!}
[/mm]
Eine Frage hierzu: Wie würde man das gesuchte Ereignis mengentheoretisch beschreiben?
zu d)
[mm] \bruch{ \vektor{4 \\ 2} \vektor{46 \\ 1} }{ \vektor{50 \\ 4} }
[/mm]
zu e)
[mm] (32/40)^3 [/mm] * (10/42)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Mo 07.07.2014 | | Autor: | wauwau |
Also zu a) glaube ich du bist auf dem Holzweg. Du weißt ja, dass er 48 von den 60 Fragen beherrscht. Also sind die günstigen Möglichkeiten, vier Fragen aus diesen 48 zu wählen......
Oder wenn nacheinander die Fragen gezogen werden:
1. Frage 48 dann 47 dann 46 dann 45 Möglichkeiten
Von 60, 59, 58, 57 möglichen Auswahlen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> a) Ein Student steht vor einer Prufung. Um sie zu
> bestehen, mu er vier zufallig gewahlte Fragen aus einer
> Liste von 60 Fragen nacheinander richtig beantworten. Wie
> hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er besteht, wenn er
> 80% der Fragen der Liste beherrscht?
>
> Hallo. Hier meine Ideen:
>
> zu a) [mm]\vektor{60 \\ 4} 0,8^4[/mm] * [mm]0,2^{56}[/mm]
>
> Dazu noch eine Frage: Wie ändert sich die Vorgehensweise,
> wenn man auf das „nacheinander“ verzichtet?
>
Also, das sind fünf voneinander unabhängige Aufgaben. Der besseren Übersicht wegen wäre es wesentlich sinnvoller gewesen, für jede einzelne einen eigenen Thread aufzumachen.
Deine Überlegung geht von einer Binomialverteilung aus, aber es handelt sich hier um eine Hypergeometrische Verteilung. Nach dem Aufdecken der ersten Frage ändert sich hier die Wahrscheinlichkeit, die nächste Frage beantworten zu können, je nachdem ob die erste Frage aus der Menge der 48 Fragen, welche beantwortet werden können, handelt, oder aus den anderen 12.
Du kannst es auch einfach kombinatorisch ganz banal als "Günstige durch Mögliche" sehen: Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 60 Fragen 4 zu wählen und wie viele Möglichkeiten aus 48 Fragen 4 zu wählen (und aus 12 Fragen 0). --> 39,903 %
Gruß RMix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Hier muss ich nochmal kurz nachhaken: wenn ich hier die hypergeometrische verteilung verwende, dann wird doch nicht berücksichtigt dass die 4 Fragen nacheinander beantwortet werden. Oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hier muss ich nochmal kurz nachhaken: wenn ich hier die
> hypergeometrische verteilung verwende, dann wird doch
> nicht berücksichtigt dass die 4 Fragen nacheinander
> beantwortet werden. Oder?
Wer kann schon vier Fragen gleichzeitig beantworten? 
Die Unterscheidung zwischen gleichzeitig ziehen und nacheinander würde nur Sinn machen, wenn man "Ziehen mit Zurücklegen" annimmt. Allerdings gehe ich schon davon aus, dass es in jedem Fall sich um vier unterschiedliche Fragen handeln soll.
Im Falle des unsinnig erscheinenden "Ziehen mit Zurücklegen" wäre die Lösung [mm] $0.8^4$
[/mm]
Die von dir ursprünglich gegebene Lösung wäre für folgende Aufgabenstellung richtig:
Ein Student kann eine ihm gestellte Frage mit einer Wahrscheinlichkiet von 80% korrekt beantworten. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Student von 60 ihm gestellten Fragen genau 4 korrekt beantwortet.
Gruß RMix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Ich meinte das so: es ist ja ein Unterschied ob z.B die Reihenfolge r f r f f r f r betrachtet wird, oder ob man verlangt dass die vier fragen nacheinander korrekt beantwortet werden, also z.B f r r r r.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ich meinte das so: es ist ja ein Unterschied ob z.B die
> Reihenfolge r f r f f r f r betrachtet wird, oder ob man
> verlangt dass die vier fragen nacheinander korrekt
> beantwortet werden, also z.B f r r r r.
Ich versteh jetzt worum es dir geht. Allerdings ist meiner nach die Angabe so zu interpretieren, dass dem Studenten genau 4 Fragen und nicht mehr gestellt werden und er eben alle korrekt beantworten muss.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> b) Howard Wolowitz hat eine Erdnussallergie. Bei Verzehr
> von Erdnüssen tritt bei ihm mit einer Wahrscheinlichkeit
> von 0,99 eine allergische Reaktion auf. Bei Verzehr von
> Nahrung, die nachweislich frei von Erdnussallergenen ist,
> tritt bei ihm mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,03 eine
> allergische Reaktion auf (Eine Kreuzreaktion bedingt durch
> ähnliche Allergene, z.B. bei Soja).
> Eine bestimmte Schokolade kann Spuren von Erdnüssen
> enthalten. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie tatsächlich
> Erdnussallergene enthält, beträgt 0,06. Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit enthält die Schokolade Erdnüsse,
> gegeben Howard Wolowitz hat nach Verzehr eine allergische
> Reaktion?
> zu b)
> P(E|R)= [mm]\bruch{0.06*0,99}{0,06*0,09+0,03*0,94}=[/mm] 99/146
>
Die Aufgabe wäre für Dr.Dr. Sheldon Lee Cooper vermutlich zu trivial und auch für dich war sie kein unlösbares Problem. Das Ergebnis ist OK. Inwieweit und wie du deine Lösung dokumentieren musst (Produktsatz, bedingte W. oder "Baumdiagramm"), solltest du Beispielen entnehmen, die ihr schon gerechnet habt. Jedenfalls solltest du die Bedeutung der Ereignisse E und R angeben, auch wenn es offensichtlich ist. "Offensichtlich" ist in der Mathematik ein sehr gefährliches Wort
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> c) 8 Menschen setzen sich zufällig an einen runden Tisch
> (darunter A und B). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
> dass A und B nebeneinander sitzen?
>
> zu c)
> [mm]\bruch{2*8*6!}{8!}[/mm]
>
> Eine Frage hierzu: Wie würde man das gesuchte Ereignis
> mengentheoretisch beschreiben?
Dein Ergebnis, welches zu 2/7 vereinfacht werden kann, stimmt. Was du dir dabei überlegt hast schreibst du leider nicht, daher ist nicht entscheidbar, ob deine Überlegungen richtig sind oder das Ergebnis nur zufälligerweise stimmt.
Ein einfacher Ansatz wäre es, sich klar zu machen, dass es egal ist, wo A zu sitzen kommt (das entspricht wohl deiner Division durch 8!). Jetzt gibt es 7 mögliche Plätze für B und 2 davon sind "günstig".
Welche Antwort suchst du genau mit deiner Zusatzfrage?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> d)In einem Lager befinden sich 50 alte Glühbirnen. Genau
> vier davon sind kaputt. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass sich unter vier zufällig aus dem
> Lager gezogenen Birnen genau zwei kaputte Birnen befinden?
>
> zu d)
>
> [mm]\bruch{ \vektor{4 \\ 2} \vektor{46 \\ 1} }{ \vektor{50 \\ 4} }[/mm]
>
Ja, hier handelt es sich wieder um Hypergeom. Verteilung.
Allerdings sollte es
[mm]\bruch{ \vektor{4 \\ 2} \vektor{46 \\ \red{2}} }{ \vektor{50 \\ 4} }=\frac{621}{23030}\approx{2.696}[/mm] %
lauten. Obs ein Tipp- oder ein Denkfehler ist, lässt sich mangels Rechengangdokumentation nicht entscheiden.
Gruß RMix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> e) Zu einer Vorlesung gibt es die vier Übungsgruppen A,
> B, C und D. In den Gruppen A, B, C und D geben 10, 12, 8
> bzw. 12 Studierende die bearbeiteten Übungsaufgaben ab.
> Die abgegebenen Übungsblätter werden auf einem Haufen in
> "rein zufälliger'' Reihenfolge gesammelt. Nun zieht der
> Assistent von diesem Haufen nacheinander vier
> Übungsblätter. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
> dass erst das vierte Übungsblatt aus der Übungsgruppe A
> ist.
>
> zu e)
> [mm](32/40)^3[/mm] * (10/42)
Nein, das ist falsch. Auch wenn du die 40 durch 42 ersetzt wird es nicht richtig. Leider dokumentierst du wieder nicht deine Überlegungen sondern überlässt das dem geneigten Leser - das kann bei einer Klausur kräftig ins Auge gehen.
Sollte als der Ausdruck [mm](32/40)^3[/mm] oder besser [mm](32/42)^3[/mm] die Wahl der ersten drei Blätter aus der Menge der Nicht-A-Blätter darstellen, dann überleg dir erst, wie viele Blätter es nach dem Ziehen des ersten Blattes insgesamt noch gibt und wie viele Nicht-A-Blätter, wenn das erste bereits eines aus dieser Gruppe war. Und aus wie vielen Blättern insgesamt kann das vierte Blatt noch gezogen werden?
Gruß RMix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Danke, ich glaube jetzt hab ich es verstanden.
32/42*31/41*30/40*10/39
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Mo 07.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Danke, ich glaube jetzt hab ich es verstanden.
>
> 32/42*31/41*30/40*10/39
Ich denke ja - zumindest Klammersetzung wär nett.
Gruß RMix
|
|
|
|
