Wahrscheinlichkeit bei Tarock < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Mo 04.08.2014 | | Autor: | wieSeee |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi ich hätte Fragen zur Wahrscheinlichkeit bezüglich Kartenspielen (genauer Tarockieren [XXer, welches in Österreich gerne gespielt wird])
Es gibt 40 Karten, 20 Tarock und 20 Farbkarten unterteilt in Herz, Pik, Karo und Treff zu je 5 Karten. Insgesamt 4 Spieler und jeder bekommt 10 Karten ausgeteilt. Meine Fragen sind jetzt
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zB alle 5 Herz-Karten auf die 4 Spieler verteilt sind
b) Wenn jemand eine Farbkarte ausspielt (wie bei Punkt a zB Herz) müssen alle anderen, falls sie diese "Farbe (Herz)" besitzen, diese zugeben. Ansonsten muss eine der 20 Tarock-Karten gespielt werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, wenn der erste Spieler eine Herz ausspielt und der zweite schon mit Tarock abstechen muss, dass die restlichen beiden Spieler noch Herzkarten haben, die sie zugeben müssen?
Danke für eure Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mo 04.08.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo wieseee,
willkommen im Matheraum!
Zu Teil a):
Ich habe mir gedacht, dass du doch erst einmal folgende Situation hast:
[mm] \Omega=\{(\omega_1,...,\omega_4)|\forall i\in\{1,...,4\}:\omega_i\subseteq \{1,...,35,H1,H2,...,H5\}\wedge |\omega_i|=10\wedge \forall x\in\omega_i,y\in\omega_j \mbox{ mit } i\neq j:x\neq y\}. [/mm] 1,...,35 sind alle nicht-Herz-Karten und H1,...,H5 sind die Herz-Karten.
Was ist [mm] |\Omega|? [/mm] Wie viele Möglichkeiten haben wir also 40 Karten auf 4 10er Haufen zu verteilen?
Wie viele Möglichkeiten haben wir denn 40 Karten auf 40 Plätze zu verteilen, wenn wir die Reihenfolge beachten und sie nicht zurücklegen? => Permutation ohne Wiederholung also PoW(40,40)=40!
Jetzt haben wir aber nicht beachtet, dass 4 mal bei jeden 10er Haufen die Reihenfolge irrelevant ist. Also kürzen wir diese "zu oft" gezählen Möglichkeiten heraus und erhalten:
[mm] |\Omega|=\frac{40!}{10!10!10!10!}
[/mm]
Jetzt haben wir das Ereignis E = "Jeder Spieler hat mindestens einmal Herz." Wie viele Möglichkeiten existieren dann?
4 Herz Karten sind schon mal "fest" bei jeden Spieler verteilt. Also haben wir noch 36 freie Karten zu vergeben (wo die 5. Herzkarte landet ist egal). Ähnliche Überlegung wie oben führen uns zu [mm] |E|=\frac{36!}{9! 9! 9! 9!} [/mm] (hier verteilen wir jeweils 9 Karten auf jeden 10er Haufen und zählen daher die Möglichkeiten "zu oft", die sich durch die interne Reihenfolge der 9 Karten jeweils ergeben).
Also erhalten wir eine Wahrscheinlichkeit von [mm] $P(E)=\frac{\frac{36!}{9!^4}}{\frac{40!}{10!^4}}\approx 4,56\cdot10^{-3}$.
[/mm]
Wahrscheinlichkeitstheorie ist nicht wirklich mein Lieblingsthema 
Ich wäre also dankbar für eine Bestätigung oder Korrektur meiner Gedankengänge. Gerne auch vom Fragesteller 
EDIT: Nach dem Kommentar von rmix22, versuche ich seine Anmerkungen einzubauen.
> Hier liegt dein Fehler.
> Du unterscheidest hier nicht mehr die fünf
> unterschiedlichen Herz.Karten und du hältst auch
> deren Position in der jeweiligen Hand fest.
OK. Also beachte ich die Möglichkeiten 4 Herzkarten auf 4 Hände anzuordnen. => 4!
Zudem beachte ich jetzt noch die Möglichkeit aus 5 Herz-Karten 4 auszuwählen. => [mm] \frac{5!}{4!}=5
[/mm]
> Naja, nicht ganz. Du zählst hier unter anderem
> die Möglichkeiten doppelt.
Stimmt. Wegen der doppelten Zählung der Herz-Karten beim Spieler mit 2 Herz-Karten muss ich noch den Faktor [mm] \frac{1}{2} [/mm] einbringen.
Es folgt: [mm] |E|=\frac{36!\cdot 4!\cdot5}{9!^4}\cdot\frac{1}{2}
[/mm]
Und damit: [mm] P(E)=\frac{\frac{36!\cdot 4!\cdot5}{9!^4}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{40!}{10!^4}}=\frac{2500}{9139}\approx0,2736.
[/mm]
MfG
Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:25 Di 05.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Wie viele Möglichkeiten haben wir denn 40 Karten auf 40
> Plätze zu verteilen, wenn wir die Reihenfolge beachten
> und sie nicht zurücklegen? => Permutation ohne
> Wiederholung also PoW(40,40)=40!
> Jetzt haben wir aber nicht beachtet, dass 4 mal bei jeden
> 10er Haufen die Reihenfolge irrelevant ist. Also kürzen
> wir diese "zu oft" gezählen Möglichkeiten heraus und
> erhalten:
> [mm]|\Omega|=\frac{40!}{10!10!10!10!}[/mm]
OK, du unterscheidest hier also penibel zwischen 40 unterschiedlichen Karten und ignorierst nur die Permutationen jeder der 4 Hände. Das muss nun auch bei den "günstigen" Fällen so gehandhabt werden.
Bin mir nicht sicher, ob der Ansatz mit nur zwei unterscheidbaren Karten (Herz, Nicht-Herz) einfacher wäre oder nicht.
> Jetzt haben wir das Ereignis E = "Jeder Spieler hat
> mindestens einmal Herz." Wie viele Möglichkeiten
> existieren dann?
> 4 Herz Karten sind schon mal "fest" bei jeden Spieler
> verteilt.
Hier liegen deine Fehler. Du unterscheidest hier nicht mehr die fünf unterschiedlichen Herz.Karten und du hältst auch deren Position in der jeweiligen Hand fest.
> Also haben wir noch 36 freie Karten zu vergeben
> (wo die 5. Herzkarte landet ist egal).
Naja, nicht ganz. Du zählst hier unter anderem die Möglichkeiten doppelt. Nehmen wir an, Blatt 1 hätte die zwei Herz-Karten H1 und H2. Du zählst diese Möglichkeit doppelt, weil ja zuerst H1 bei den vier Herz-Karten dabei sein könnte, die auf die vier Hände verteilt werden oder aber H1 die übriggebliebene fünfte Karte ist, die dann eben noch in die erste Hand ausgeteilt wird.
> Ähnliche
> Überlegung wie oben führen uns zu [mm]|E|=\frac{36!}{9! 9! 9! 9!}[/mm]
Nein, das ist viel zu wenig.
> (hier verteilen wir jeweils 9 Karten auf jeden 10er Haufen
> und zählen daher die Möglichkeiten "zu oft", die sich
> durch die interne Reihenfolge der 9 Karten jeweils
> ergeben).
> Also erhalten wir eine Wahrscheinlichkeit von
> [mm]P(E)=\frac{\frac{36!}{9!^4}}{\frac{40!}{10!^4}}\approx 4,56\cdot10^{-3}[/mm].
Nein, viel zu klein. Das korrekte Ergebnis ist [mm] $\br{2500}{9139}\approx{27,36\;\%}$
[/mm]
Gruß RMix
|
|
|
| |
|
Mach so:
1. Feststellen aller möglichen Ereignisse:
Der erste Spieler erhält 10 Karten. Dafür gibt es [mm] \vektor{40 \\ 10} [/mm] Möglichkeiten. Nun erhält der 2. Spieler 10 Karten vom Rest. Dafür gibt es [mm] \vektor{30 \\ 10} [/mm] Möglichkeiten. Entsprechend für den 3. Spieler noch [mm] \vektor{20 \\ 10} [/mm] Möglichkeiten und für den 4. [mm] \vektor{10 \\ 10} [/mm] = 1 Möglichkeit.
Macht zusammen [mm] \vektor{40 \\ 10}*\vektor{30 \\ 10}*\vektor{20 \\ 10}*1 [/mm] Möglichkeiten.
2. Feststellen aller Mgl., bei denen jeder ein Herz hat:
Da es 5 Herzen gibt, habe zunächst der erste Spieler 2 Herzen, die anderen jeweils 1.
Dann gibt es für den 1. Spieler [mm] \vektor{5 \\ 2}= [/mm] 10 Mgl. für die beiden Herzen und dann noch [mm] \vektor{35 \\ 8} [/mm] für die Nicht-Herzen, für den 2. Spieler nun noch [mm] \vektor{3 \\ 1}=3 [/mm] Mgl. für ein Herz und [mm] \vektor{27 \\ 9} [/mm] Mg. für die Nicht-Herzen, für den 3. Spieler [mm] \vektor{2 \\ 1}=2 [/mm] Mgl. für ein Herz und [mm] \vektor{18 \\ 9} [/mm] Mgl. für die Nicht-Herzen und für Spieler 4 [mm] \vektor{1 \\ 1}=1 [/mm] Mgl. für das letzte Herz und [mm] \vektor{9 \\ 9}= [/mm] 1 Mgl. für die verbliebenen Restkarten, also zusammen
[mm] 10*3*2*1*\vektor{35 \\ 8}*\vektor{27 \\ 9}*\vektor{18 \\ 9}*1 [/mm] = [mm] 60*\vektor{35 \\ 8}*\vektor{27 \\ 9}*\vektor{18 \\ 9}*1 [/mm] Mgl.
Nun kann aber der 2., der 3. oder der 4 Spieler die beiden Herzkarten bekommen, so dass dadurch jeweils andere (günstige) Situationen entstehen, so dass die letzte Berechnung noch vervierfacht werden muss:
Insgesamt günstig: [mm] 240*\vektor{35 \\ 8}*\vektor{27 \\ 9}*\vektor{18 \\ 9}*1 [/mm] Mgl.
Nun dividierst du das letzte Ergebnis durch das in 1. berechnete und erhältst die W.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:55 Di 05.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Mach so:
>
> 1. Feststellen aller möglichen Ereignisse:
>
> Der erste Spieler erhält 10 Karten. Dafür gibt es
> [mm]\vektor{40 \\ 10}[/mm] Möglichkeiten. Nun erhält der 2.
> Spieler 10 Karten vom Rest. Dafür gibt es [mm]\vektor{30 \\ 10}[/mm]
> Möglichkeiten. Entsprechend für den 3. Spieler noch
> [mm]\vektor{20 \\ 10}[/mm] Möglichkeiten und für den 4.
> [mm]\vektor{10 \\ 10}[/mm] = 1 Möglichkeit.
>
> Macht zusammen [mm]\vektor{40 \\ 10}*\vektor{30 \\ 10}*\vektor{20 \\ 10}*1[/mm]
> Möglichkeiten.
Das ist richtig und ergibt natürlich das Gleiche wie die bereits genannten etwas einfacheren
[mm] $\br{40!}{(10!)^4}$
[/mm]
>
>
> 2. Feststellen aller Mgl., bei denen jeder ein Herz hat:
>
> Da es 5 Herzen gibt, habe zunächst der erste Spieler 2
> Herzen, die anderen jeweils 1.
> Dann gibt es für den 1. Spieler [mm]\vektor{5 \\ 2}=[/mm] 10 Mgl.
> für die beiden Herzen und dann noch [mm]\vektor{35 \\ 8}[/mm] für
> die Nicht-Herzen, für den 2. Spieler nun noch [mm]\vektor{3 \\ 1}=3[/mm]
> Mgl. für ein Herz und [mm]\vektor{27 \\ 9}[/mm] Mg. für die
> Nicht-Herzen, für den 3. Spieler [mm]\vektor{2 \\ 1}=2[/mm] Mgl.
> für ein Herz und [mm]\vektor{18 \\ 9}[/mm] Mgl. für die
> Nicht-Herzen und für Spieler 4 [mm]\vektor{1 \\ 1}=1[/mm] Mgl. für
> das letzte Herz und [mm]\vektor{9 \\ 9}=[/mm] 1 Mgl. für die
> verbliebenen Restkarten, also zusammen
>
> [mm]10*3*2*1*\vektor{35 \\ 8}*\vektor{27 \\ 9}*\vektor{18 \\ 9}*1[/mm]
> = [mm]60*\vektor{35 \\ 8}*\vektor{27 \\ 9}*\vektor{18 \\ 9}*1[/mm]
> Mgl.
>
> Nun kann aber der 2., der 3. oder der 4 Spieler die beiden
> Herzkarten bekommen, so dass dadurch jeweils andere
> (günstige) Situationen entstehen, so dass die letzte
> Berechnung noch vervierfacht werden muss:
> Insgesamt günstig: [mm]240*\vektor{35 \\ 8}*\vektor{27 \\ 9}*\vektor{18 \\ 9}*1[/mm]
> Mgl.
Ja, etwas aufwändig, aber korrekt.
Etwas einfacher(?) gehts mit [mm] $\br{5*4!*10^4*36!}{2*(10!)^4}$
[/mm]
> Nun dividierst du das letzte Ergebnis durch das in 1.
> berechnete und erhältst die W.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:08 Di 05.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
Also jetzt mein Ansatz.
Anzahl der möglichen Kartenanordnungen = 40! Ich unterscheide dabei (unnötigerweise) zwischen allen Karten und auch zwischen den unterschiedlichen Permutationen der 10 Karten der jeweiligen Hände.
Anzahl der "günstigen" Fälle: Wähle 4 Herz-Karten aus den 5 möglichen auf 5 Arten
Ordne sie auf 4! Arten den 4 Händen zu und
platziere sie dort jeweils auf 10 mögliche Arten [mm] ->10^4
[/mm]
Nun werden die verbleibenden 36 Karten (eine davon ist eine Herz-Karte) auf 36! Möglichkeiten auf die verbleibenden Plätze.
Eine Hand hat nun zwei Herz-Karten und diese wurden doppelt gezählt, daher durch zwei dividieren.
Also:
[mm] $\text{Günstige}=\br{5*4!*10^4*36!}{2}$
[/mm]
[mm] $\text{Mögliche}=40!$
[/mm]
[mm] $\br{\text{Günstige}}{\text{Mögliche}}\approx{27,36\;\%}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:06 Di 05.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
Bei b) bin ich mir nicht ganz sicher und mein Ansatz umfasst auch eine ganze Reihe unangenehmer Fallunterscheidungen.
Kann jemand das Ergebnis [mm] $\br{6657387383}{11214134932}\approx{59,37\;\%}$ [/mm] bestätigen?
EDIT: Mit einem anderen, einfacheren Ansatz, der die Gegenwahrscheinlichkeit nutzt, komme ich jetzt auf [mm] $\br{5375}{7917}\approx{67,89\;\%}$
[/mm]
EDIT2: Jetzt komme ich auch mit meinem ersten, komplizierteren Ansatz auf die 67,89 %. Die glaub ich jetzt einfach mal.
RMix
|
|
|
|
