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| Aufgabe | Let X and Y be independent random variables taking values in the positive integers [mm] \lbrace1,2,3,...\rbrace, [/mm] with the same probability distribution:
[mm] \IP(X=k) [/mm] = [mm] \IP(Y=k) [/mm] = [mm] \frac{1}{2^{k}}, \forall [/mm] k [mm] \in \IN_{\ge 1}
[/mm]
Find the following probabilities:
a) [mm] \IP(X=Y)
[/mm]
b) [mm] \IP(min(X,Y) \le [/mm] x)
[mm] \vdots [/mm] |
Hallo Zusammen
Das sah für mich auf den ersten Blick nach einer einfachen Aufgabe aus.. nun bin ich davon nicht mehr wirklich überzeugt, da ich schon bald in Schwierigkeiten gerate... Ich versuche mich aber trotzdem mal, vielleicht kann mir dann jemand helfen
a) Nun, [mm] \IP(X=Y) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^{\infty}\IP(X=i,Y=i) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^{\infty}\IP(X=i)\IP(Y=i) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^{i}}\frac{1}{2^{i}} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2i}} [/mm] = [mm] \frac{1}{3}
[/mm]
b) Hier habe ich zwar einiges gemacht, doch ich glaube meine Idee ist nicht so ganz richtig.. Ich habe angesetzt:
[mm] \IP(min(X,Y) \le [/mm] x) = [mm] \sum\limits_{i=1}^{x}\IP(min(X,Y) [/mm] = i) [mm] \overset{\*}{=} \sum\limits_{i=1}^{x}\left[\IP(X=i)\IP(X
Ich habe damit weiter gerechnet und komme schliesslich auf eine Lösung, die von einem k [mm] \in \IN [/mm] abhängt.. aber ich denke, das ginge auch einfacher, oder? Ist die Überlegung beim (*) überhaupt richtig?
Grüsse, Amaro
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> Let X and Y be independent random variables taking values
> in the positive integers [mm]\lbrace1,2,3,...\rbrace,[/mm] with the
> same probability distribution:
>
> [mm]\IP(X=k)[/mm] = [mm]\IP(Y=k)[/mm] = [mm]\frac{1}{2^{k}}, \forall[/mm] k [mm]\in \IN_{\ge 1}[/mm]
>
>
> Find the following probabilities:
>
> a) [mm]\IP(X=Y)[/mm]
>
> b) [mm]\IP(min(X,Y) \le[/mm] x)
>
> [mm]\vdots[/mm]
> Hallo Zusammen
>
> Das sah für mich auf den ersten Blick nach einer einfachen
> Aufgabe aus.. nun bin ich davon nicht mehr wirklich
> überzeugt, da ich schon bald in Schwierigkeiten gerate...
> Ich versuche mich aber trotzdem mal, vielleicht kann mir
> dann jemand helfen
>
>
> a) Nun, [mm]\IP(X=Y)[/mm] = [mm]\sum\limits_{i=1}^{\infty}\IP(X=i,Y=i)[/mm] =
> [mm]\sum\limits_{i=1}^{\infty}\IP(X=i)\IP(Y=i)[/mm] =
> [mm]\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^{i}}\frac{1}{2^{i}}[/mm] =
> [mm]\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2i}}[/mm] = [mm]\frac{1}{3}[/mm]
Ich denke, das ist richtig.
> b) Hier habe ich zwar einiges gemacht, doch ich glaube
> meine Idee ist nicht so ganz richtig.. Ich habe angesetzt:
> [mm]\IP(min(X,Y) \le[/mm] x) = [mm]\sum\limits_{i=1}^{x}\IP(min(X,Y)[/mm] =
> i) [mm]\overset{\*}{=} \sum\limits_{i=1}^{x}\left[\IP(X=i)\IP(X
>
> Ich habe damit weiter gerechnet und komme schliesslich auf
> eine Lösung, die von einem k [mm]\in \IN[/mm] abhängt.. aber ich
> denke, das ginge auch einfacher, oder? Ist die Überlegung
> beim (*) überhaupt richtig?
>
> Grüsse, Amaro
Hallo Amaro,
dass die Lösung zu b) von einer natürlichen Zahl abhängig
ist, nämlich von dem vorgegebenen Wert x (ich würde das
übrigens lieber etwa mit n bezeichnen !) ist natürlich klar.
Was du offenbar übersehen hast, ist, dass auch min(X,Y)=X=Y
gelten kann. Korrekt hätte man also:
[mm]\sum\limits_{i=1}^{n}\IP(X=i)\IP(X\le Y) + \sum_{i=1}^n \IP(Y=i)\IP(Y\le X)[/mm]
Aus Symmetriegründen sind die beiden Summen natürlich
gleich groß, also haben wir:
[mm] $\IP_n\ [/mm] =\ [mm] \IP\left(min(X,Y)\le n\right)\ [/mm] =\ [mm] 2*\sum_{i=1}^{n}\IP(X=i)\,*\,\IP(Y\ge [/mm] i)$
Gerade habe ich gemerkt, dass ich hier auch einen Über-
legungsfehler gemacht haben muss, denn ich erhalte für
[mm] \limes_{n\to\infty}\IP_n [/mm] einen Wert größer als eins, was natürlich nicht
sein kann.
Nun habe ich zwar meinen Fehler lokalisiert, überlasse
die kleine Aufgabe, ihn ebenfalls aufzudecken, gerne
allen Leserinnen und Lesern ...
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Fr 06.08.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo!
> > [mm]\IP(min(X,Y) \le[/mm] x) = [mm]\sum\limits_{i=1}^{x}\IP(min(X,Y)[/mm]
> =
> > i) [mm]\overset{\*}{=} \sum\limits_{i=1}^{x}\left[\IP(X=i)\IP(X
>
> Was du offenbar übersehen hast, ist, dass auch
> min(X,Y)=X=Y
> gelten kann. Korrekt hätte man also:
>
> [mm]\sum\limits_{i=1}^{n}\IP(X=i)\IP(X\le Y) + \sum_{i=1}^n \IP(Y=i)\IP(Y\le X)[/mm]
>
Hmm.. das ist natürlich blöd von mir.. :)
> Aus Symmetriegründen sind die beiden Summen natürlich
> gleich groß, also haben wir:
>
> [mm]\IP_n\ =\ \IP\left(min(X,Y)\le n\right)\ =\ 2*\sum_{i=1}^{n}\IP(X=i)\,*\,\IP(Y\ge i)[/mm]
>
> Gerade habe ich gemerkt, dass ich hier auch einen Über-
> legungsfehler gemacht haben muss, denn ich erhalte für
> [mm]\limes_{n\to\infty}\IP_n[/mm] einen Wert größer als eins,
> was natürlich nicht
> sein kann.
Kann es sein, dass du die Fälle X = Y = i doppel zählst?
Ich bin gerade dabei, den folgenden Ansatz zu verfolgen:
[mm] \IP(min(X,Y) \le [/mm] n) = [mm] 2\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}{\IP(X=i)\cdot\IP(Y>i)} [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=1}^{n}{\IP(X=Y=i)}
[/mm]
Mal schauen, ob das irgendwohin führt.. oder sollte ich das lieber sein lassen?
Danke übrigens, für deine Hilfe!
>
> LG Al-Chwarizmi
Grüsse, Amaro
EDIT: Ich bin nun auf die Lösung [mm] \IP(min(X,Y) \le [/mm] n) = [mm] 1-4^{-n} [/mm] gekommen, und [mm] \lim\limits_{n \to \infty}{1-4^{-n}} [/mm] = 1
Trotzdem, ich glaube, dies war zu aufwändig.. ich hatte viele Reihen zu lösen und ich glaube nicht, dass dies die einzige Möglichkeit ist, diese Aufgabe zu lösen (falls meine Lösung überhaupt richtig ist).
Darum wäre ich weiterhin an Anregungen interessiert :)
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Fr 06.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
>
> > > [mm]\IP(min(X,Y) \le[/mm] x) = [mm]\sum\limits_{i=1}^{x}\IP(min(X,Y)[/mm]
> > =
> > > i) [mm]\overset{\*}{=} \sum\limits_{i=1}^{x}\left[\IP(X=i)\IP(X
>
> >
>
> > Was du offenbar übersehen hast, ist, dass auch
> > min(X,Y)=X=Y
> > gelten kann. Korrekt hätte man also:
> >
> > [mm]\sum\limits_{i=1}^{n}\IP(X=i)\IP(X\le Y) + \sum_{i=1}^n \IP(Y=i)\IP(Y\le X)[/mm]
>
> >
>
> Hmm.. das ist natürlich blöd von mir.. :)
>
> > Aus Symmetriegründen sind die beiden Summen natürlich
> > gleich groß, also haben wir:
> >
> > [mm]\IP_n\ =\ \IP\left(min(X,Y)\le n\right)\ =\ 2*\sum_{i=1}^{n}\IP(X=i)\,*\,\IP(Y\ge i)[/mm]
>
> >
> > Gerade habe ich gemerkt, dass ich hier auch einen Über-
> > legungsfehler gemacht haben muss, denn ich erhalte
> für
> > [mm]\limes_{n\to\infty}\IP_n[/mm] einen Wert größer als eins,
> > was natürlich nicht
> > sein kann.
>
> Kann es sein, dass du die Fälle X = Y = i doppel zählst?
>
> Ich bin gerade dabei, den folgenden Ansatz zu verfolgen:
>
> [mm]\IP(min(X,Y) \le[/mm] n) =
> [mm]2\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}{\IP(X=i)\cdot\IP(Y>i)}[/mm] +
> [mm]\sum\limits_{i=1}^{n}{\IP(X=Y=i)}[/mm]
>
> Mal schauen, ob das irgendwohin führt.. oder sollte ich
> das lieber sein lassen?
>
> Danke übrigens, für deine Hilfe!
>
> >
> > LG Al-Chwarizmi
>
> Grüsse, Amaro
>
>
> EDIT: Ich bin nun auf die Lösung [mm]\IP(min(X,Y) \le[/mm] n) =
> [mm]1-4^{-n}[/mm] gekommen, und [mm]\lim\limits_{n \to \infty}{1-4^{-n}}[/mm]
> = 1
>
> Trotzdem, ich glaube, dies war zu aufwändig.. ich hatte
> viele Reihen zu lösen und ich glaube nicht, dass dies die
> einzige Möglichkeit ist, diese Aufgabe zu lösen (falls
> meine Lösung überhaupt richtig ist).
> Darum wäre ich weiterhin an Anregungen interessiert :)
>
> Grüsse, Amaro
Liebe Freunde,
warum geht ihr nicht über das Gegenereignis?
Statt [mm] Min(X,Y)\le [/mm] n würde ich doch lieber Min(X,Y)>n betrachten, was nichts anderes bedeutet als
X>n UND Y>n.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Fr 06.08.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Liebe Freunde,
> warum geht ihr nicht über das Gegenereignis?
> Statt [mm]Min(X,Y)\le[/mm] n würde ich doch lieber Min(X,Y)>n
> betrachten, was nichts anderes bedeutet als
> X>n UND Y>n.
> Gruß Abakus
>
Hejo.. das hab ich nun gar nicht in Betracht gezogen..
Ich hab das auf jeden Fall nochmals mit dem Gegenereignis probiert und ich komme auf das gleiche Resultat wie ohne Gegenereignis, also [mm] 1-4^{-n}.
[/mm]
Dies sollte das Resultat bestätigen :)
Danke euch allen für die Hilfe!
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:02 Sa 07.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Liebe Freunde,
> warum geht ihr nicht über das Gegenereignis?
> Statt [mm]Min(X,Y)\le[/mm] n würde ich doch lieber Min(X,Y)>n
> betrachten, was nichts anderes bedeutet als
> X>n UND Y>n.
> Gruß Abakus
Und [mm] \{\min(X,Y)\le n\}=\{X\le n\}\cup\{Y\le n\} [/mm] führt auch ohne Umschweife zum Ergebnis.
LG
gfm
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> Kann es sein, dass du die Fälle X = Y = i doppel zählst?
Ja, das siehst du genau richtig !
Das hatte ich zuerst übersehen.
Gruß Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Fr 06.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo!
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> > > [mm]\IP(min(X,Y) \le[/mm] x) = [mm]\sum\limits_{i=1}^{x}\IP(min(X,Y)[/mm]
> > =
> > > i) [mm]\overset{\*}{=} \sum\limits_{i=1}^{x}\left[\IP(X=i)\IP(X
>
> >
>
> > Was du offenbar übersehen hast, ist, dass auch
> > min(X,Y)=X=Y
> > gelten kann. Korrekt hätte man also:
> >
> > [mm]\sum\limits_{i=1}^{n}\IP(X=i)\IP(X\le Y) + \sum_{i=1}^n \IP(Y=i)\IP(Y\le X)[/mm]
>
> >
>
> Hmm.. das ist natürlich blöd von mir.. :)
>
> > Aus Symmetriegründen sind die beiden Summen natürlich
> > gleich groß, also haben wir:
> >
> > [mm]\IP_n\ =\ \IP\left(min(X,Y)\le n\right)\ =\ 2*\sum_{i=1}^{n}\IP(X=i)\,*\,\IP(Y\ge i)[/mm]
>
> >
> > Gerade habe ich gemerkt, dass ich hier auch einen Über-
> > legungsfehler gemacht haben muss, denn ich erhalte
> für
> > [mm]\limes_{n\to\infty}\IP_n[/mm] einen Wert größer als eins,
> > was natürlich nicht
> > sein kann.
>
> Kann es sein, dass du die Fälle X = Y = i doppel zählst?
>
> Ich bin gerade dabei, den folgenden Ansatz zu verfolgen:
>
> [mm]\IP(min(X,Y) \le[/mm] n) =
> [mm]2\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}{\IP(X=i)\cdot\IP(Y>i)}[/mm] +
> [mm]\sum\limits_{i=1}^{n}{\IP(X=Y=i)}[/mm]
>
> Mal schauen, ob das irgendwohin führt.. oder sollte ich
> das lieber sein lassen?
>
> Danke übrigens, für deine Hilfe!
>
> >
> > LG Al-Chwarizmi
>
> Grüsse, Amaro
>
>
> EDIT: Ich bin nun auf die Lösung [mm]\IP(min(X,Y) \le[/mm] n) =
> [mm]1-4^{-n}[/mm] gekommen, und [mm]\lim\limits_{n \to \infty}{1-4^{-n}}[/mm]
> = 1
>
> Trotzdem, ich glaube, dies war zu aufwändig.. ich hatte
> viele Reihen zu lösen und ich glaube nicht, dass dies die
> einzige Möglichkeit ist, diese Aufgabe zu lösen (falls
> meine Lösung überhaupt richtig ist).
> Darum wäre ich weiterhin an Anregungen interessiert :)
>
> Grüsse, Amaro
Wenn [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] zwei unabh. Ereignisse gleicher Wahrscheinlichkeit [mm]w[/mm] sind, gilt [mm]W:=P(A\cup B)=(2-w)w[/mm]. Und wenn [mm]w=1-(1/2)^n[/mm], dann ist [mm]W=(1+(1/2)^n)*(1-(1/2)^n)=1-1/4^n[/mm]. Nun ist [mm]\{\min(X,Y)\le n\}=\{X\le n\}\cup\{Y\le n\}[/mm]. Die beiden letzten Mengen erfüllen die Eingangs gemachten Voraussetzungen.
BTW: Es gilt [mm] F_{\min(X,Y)}(t)
[/mm]
[mm] =F_X(t)*(2-F_X(t)), [/mm] wenn X und Y identisch und unabh. sind,
[mm] =2F_X(t)-F_{X,Y}(t,t), [/mm] wenn sie nur identisch verteilt sind und
[mm] =F_X(t)+F_Y(t)(1-F_X(t)), [/mm] wenn sie nur unabh. verteilt sind.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 08.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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