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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Maria1 |
Eine Größe X mit unbekannter Wahrscheinlichkeitsverteilung hat den Erwartungswert 5 und die Streuung 4.
a) Wie groß ist mindestens die Wahrscheinlichkeit P (1 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 9) ?
Diese Aufgabe würde ich mit der Binomialverteilung lösen. Aus dem Erwartungswert und der Streuung erhalte ich n = 25 und p = 0,2. Als Wahrscheinlichkeit ergibt sich daraus 0,9789. Stimmt das?
b) Für welche Zahl a gilt P (5 - a [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 5 + a) > 0,99 ?
Hier habe ich durch ausprobieren a = 5 erhalten. Gibt es dafür vielleicht auch eine Formel? (Vorausgesetzt das Ergebnis stimmt überhaupt.)
Bereits vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Maria1 |
Erst einmal danke für deine Antwort. Ich habe jetzt in meinem Matheheft nachgesehen, weiß aber leider dennoch nicht, wie ich das berechnen soll, weil keine einzige Beispielaufgabe darin abgedruckt ist, sondern nur die Formel für die Ungleichung.
Um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, soll ich also P( |X-5| [mm] \le [/mm] 4 ) lösen, oder? Aber wie mache ich das?
Ich habe jetzt noch ein wenig im Internet gesucht. Kann es sein, dass ich P( |X-5| [mm] \le [/mm] 4 ) < 16 / 16 berechnen soll? Erhält man dann als Ergebnis 1?
Zu Aufgabe b:
P( |X-5| [mm] \le [/mm] c ) < 0,01
4²/c² < 0,01
c < 40
a = 40
Kann das sein?
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> Um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, soll ich also P(
> |X-5| [mm]\le[/mm] 4 ) lösen, oder? Aber wie mache ich das?
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> Ich habe jetzt noch ein wenig im Internet gesucht. Kann es
> sein, dass ich P( |X-5| [mm]\le[/mm] 4 ) < 16 / 16 berechnen soll?
> Erhält man dann als Ergebnis 1?
Du solltest beachten, dass die Formel
[mm] $P(|X-E[X]|\ge \varepsilon) \le \frac{Var[X]}{\varepsilon^2}$
[/mm]
lautet, Du aber das Ereignis [mm] $\{|X-E[X]|\le \varepsilon\}$ [/mm] betrachten möchtest, also das Gegenereignis (eigentlich sogar [mm] $\{|X-E[X]|< \varepsilon\}$, [/mm] aber das spielt bei stetig verteilten Zufallsvariablen keine Rolle, was eigentlich in der Aufgabenstellung hinzugefügt werden sollte). Damit erhältst Du dann eine untere Schranke (zugegebenermaßen genauso trivial wie die obere Schranke, welche Du erhalten hast).
> Zu Aufgabe b:
> P( |X-5| [mm]\le[/mm] c ) < 0,01
Auch hier geht es doch um das Gegenereignis, also
[mm] $P(|X-5|\ge [/mm] c)<0,01$.
> 4²/c² < 0,01
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> c < 40
Wenn Du statt < das >-Zeichen verwendest, ist alles in Ordnung. Ist auch klar: Wenn a (a=c  ) noch größer als 40 gewählt wird, ist das Intervall $[5-a,5+a]$, in dem X liegen soll, ja größer als das Intervall $[5-40,5+40]$ und damit auch die zugehörige Wahrscheinlichkeit [mm] $P(5-a\le X\le [/mm] 5+a)$ (d.h. auf jeden Fall größer als die geforderten 99 %).
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:35 Do 03.03.2005 | | Autor: | Maria1 |
Zu Aufgabe a:
Ich soll also folgende Formel verwenden, oder?
$ P(|X-E[X]|< [mm] \varepsilon) \ge [/mm] 1 - [mm] \frac{Var[X]}{\varepsilon^2} [/mm] $
Erhalte ich dann als Ergebnis [mm] \ge [/mm] 0? (Wenn ich 1 - 16/16 rechne.)
(Irgendwie stelle ich mich bei dieser Aufgabe dumm an. Aber Teil b habe ich jetzt endlich verstanden. Vielen Dank!)
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Hallo Maria!
Ja, das Ergebnis habe ich auch. Passiert häufig, dass die Tscheb.Ungleichung triviale Schranken liefert. Es liegt halt alles an dem [mm] $\varepsilon$ [/mm] im Verhältnis zur Varianz von X.
Viele Grüße
Brigitte
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![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
