Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Do 02.10.2008 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Acht einander fremde Personen besteigen im Erdgeschoss den Aufzug eines Bürohauses mit 12 Stockwerken und dem Erdgeschoß.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigt jede Person in einem anderen Stockwerk aus, wenn die "Ausstiegswahrscheinlichkeit" für jedes Stockwerk identisch ist. |
Um die Wahscheinlichkeit zu berechnen muss man doch die Anzahl der günstigen Ereignisse durch die Anzahl der möglichen Ereignisse teilen.
Wie gehe ich jetzt an diese Aufgabe ran?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Do 02.10.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Um die Wahscheinlichkeit zu berechnen muss man doch die
> Anzahl der günstigen Ereignisse durch die Anzahl der
> möglichen Ereignisse teilen.
Das ist vom Prinzip her richtig.
In diesem konkreten Fall wäre diese Vorgehensweise aber wohl zu umständlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Do 02.10.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Ich hatte ja schon angedeutet, dass man nicht erst umständlich alle Möglichkeiten berechnen muss.
Man muss nur die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Person ermitteln, und weil es sich um ein Und-Ereignis handelt, werden diese Wahrscheinlichkeiten dann multipliziert:
Erste Person hat "freie Auswaht" = Wahrscheinlichkeit ist EINS
Zweite Person hat 11 von 12 Stockwerken zur Auswahl p ist [mm] \bruch{11}{12}
[/mm]
Dritte Person hat 10 von 12 Stockwerken zur Auswahl p ist [mm] \bruch{10}{12}
[/mm]
Achte Person hat 5 von 12 Stockwerken zur Auswahl p ist [mm] \bruch{5}{12}
[/mm]
Nun alles multipliziert ist [mm] \bruch{11*10*9*8*7*6*5}{12*12*12*12*12*12*12}
[/mm]
Acht einander fremde Personen besteigen im Erdgeschoss den Aufzug eines Bürohauses mit 12 Stockwerken und dem Erdgeschoß.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigt jede Person in einem anderen Stockwerk aus, wenn die "Ausstiegswahrscheinlichkeit" für jedes Stockwerk identisch ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Do 02.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Jap, das ist die Lösung, die computerfritze auch hatte :)
Die Lösung ist richtig, wenn die Menschen alle unterscheidbar sind (man sie als unterscheidbar betrachtet). Wobei ich aber denken würde, dass man die Leute eher als nicht unterscheidbar betrachten sollte.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Do 02.10.2008 | | Autor: | vivo |
hallo,
A := eine Person steigt aus
P(A) = [mm] \bruch{1}{12}
[/mm]
wir haben 12 Stockwerke und wollen dass in 8 davon ausgestiegen wird
[mm] \vektor{12 \\ 8} (\bruch{1}{12})^8 (1-\bruch{1}{12})^4
[/mm]
die lösung kommt zustande, da du hier wenn du so willst ein Urnenexperiment mit zurücklegen hast, denn die w-keit dass in einem stockwerk ausgestiegen wird bleibt bis zu letzt gleich.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Do 02.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Damit berechnest du ja nur die Wahrscheinlichkeit, dass genau 8 Leute irgendwo aussteigen (die eigentlich auch 100% betragen sollte, wenn man davon ausgeht, dass alle aussteigen).
Ich würde sagen, dass man das hier wirklich so machen kann, also mit der Laplaceverteilung. Muss man nur die Anzahl der günstigen Möglichkeiten rausfinden, sowie die Gesamtanzahl an Möglichkeiten.
Günstige Möglichkeiten: [mm] N_1=\vektor{12 \\ 8}, [/mm] da stimmen wir wohl alle überein.
Alle Möglichkeiten: [mm] N_2=\vektor{19 \\ 8} [/mm] ("Kugeln ziehen mit zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge", [mm] N=\vektor{n+k-1 \\ k})
[/mm]
Auf die Aufgabe bezogen: Ich habe 12 Etagen (die Kugeln) und ziehe 8 Stück, oder so formuliert: ich wähle 8 Stück aus, in denen die 8 Leute aussteigen können, wobei eben ja auch, wenn man alle Fälle betrachtet, mehrere Leute in einer Etage aussteigen können.
Rauskommen sollten da dann ca. 0,65%.
Wäre dennoch gut, wenn jemand sein Ok zur Lösung geben könnte, Kombinatorik ist ja immer so eine Sache ;)
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Do 02.10.2008 | | Autor: | zoj |
$ [mm] \vektor{12 \\ 8}
[/mm]
Das gibt also die Anzahl der Möglichkeiten an, wie die 8 Menschen auf 12 Stockwerken verrteilt werden können.
Reihenfolge: unwichtig
Widerholung: nein
Ist das richtig?
------
[mm] (\bruch{1}{12})^8
[/mm]
Laut Formel ist Reihenfilge wichtig
Widerholung auch wichtig
Was stellt dieser Bruch dar?
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@zoj
Es gibt 8 Leute, und die sollen sich auf 12 Stockwerke verteilen, hier ist die Wahrscheinlichkeit, dass in keinem Stockwerk mehr als 1 Person steht gefragt.
Ich habe sie folgendermaßen berechnet:
Damit die Bedingung erfüllt ist hat "Person 1" 12 Möglichkeiten, "Person 2" 11 Möglichkeiten, "Person 3" 10 Möglichkeiten, usw.
das heißt, die Anzahl der Fälle in denen diese Bedingung zutrifft ist
$ 12!/4! $
Die Anzahl der Möglichen Fälle ist genau [mm] 12^{8}
[/mm]
d.h. die Wahrscheinlichkeit ist [mm] \bruch{12!/4!}{12^{8}}
[/mm]
Danke @Teufel du hattest Recht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Do 02.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
> @zoj
> Es gibt 8 Leute, und die sollen sich auf 12 Stockwerke
> verteilen, hier ist die Wahrscheinlichkeit, dass in keinem
> Stockwerk mehr als 1 Person steht gefragt.
> Ich habe sie folgendermaßen berechnet:
> Damit die Bedingung erfüllt ist hat "Person 1" 12
> Möglichkeiten, "Person 2" 11 Möglichkeiten, "Person 3" 10
> Möglichkeiten, usw.
> das heißt, die Anzahl der Fälle in denen diese Bedingung
> zutrifft ist
> [mm]12!-4![/mm]
Wenn du den Gedankengang weiterführst, dann kommt man aber auf 12*11*10*9*8*7*6*5 Möglichkeiten! Das wäre dann [mm] \bruch{12!}{4!} [/mm] und nicht 12!-4.
> Die Anzahl der Möglichen Fälle ist genau [mm]8^{12}[/mm]
Hier meintest du wohl [mm] 12^8, [/mm] oder? Wenn du damit argumentieren wolltest, dass jede der 8 Personen 12 Möglichkeiten zum aussteigen hat.
>
> d.h. die Wahrscheinlichkeit ist [mm]\bruch{12!-4!}{8^{12}}[/mm]
Musst du eben auch noch anpassen :)
Ansonsten kann ich nur sagen, dass deine Variante zutrifft, wenn die Personen voneinander unterscheidbar sind. Meine Variante trifft zum, wenn man die einzelnen Personen nicht unterscheiden will. Legt die Aufgabe ja nicht genau fest, aber dann gehe ich immer grundsätzlich davon aus, dass man die Objekte (hier: Menschen) nicht unterscheiden kann bzw. es egal ist.
Ansonsten war dein Gedankengang auch richtig, würde ich sagen!
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Fr 03.10.2008 | | Autor: | zoj |
Vielen Dank für eure Hilfe.
Habe jetzt die Aufgabe verstanden :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:13 So 05.10.2008 | | Autor: | rabilein1 |
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> Wenn du den Gedankengang weiterführst, dann kommt man aber
> auf 12*11*10*9*8*7*6*5 Möglichkeiten! Das wäre dann
> [mm]\bruch{12!}{4!}[/mm] und nicht 12!-4.
Das war doch genau das, was ich schon am Anfang schrieb.
> Ansonsten kann ich nur sagen, dass deine Variante zutrifft,
> wenn die Personen voneinander unterscheidbar sind. Meine
> Variante trifft zum, wenn man die einzelnen Personen nicht
> unterscheiden will.
Teufel, ich glaube, dass diese Unterscheidung, ob die Personen unterscheidbar sind oder nicht, gar nicht erforderlich ist. Es geht doch nur darum, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass in jeder Etage eine andere Person aussteigt. Es geht nicht darum, wie viele Möglichkeiten es dazu gibt.
Nun wirst du gegenargumentieren, dass sich ja die Wahrscheinlichkeit aus der Division "positive Ereignisse" geteilt duch "Gesamt-Ereignisse" ergibt.
Völlig richtig, aber dann musst du auch die Anzahl der Ereignisse jedes Mal nach der selben Methode berechnen.
Und dann ist es egal, ob du die Methode mit den "unterscheidbaren Menschen" wählst, oder die mit den "nicht-unterscheidbaren Menschen".
Was du nicht machen darfst, ist, die "positiven Ereignisse" nach der Methode A und die "Gesamt-Ereignisse" nach der Methode B berechnen.
Und aus diesem Grunde war ich von Anfang an nur auf die Wahrscheinlichkeiten aus, und nicht auf die Anzahl der Ereignisse.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 So 26.10.2008 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Acht einander fremde Personen besteigen im Erdgeschoß den Aufzug eines Bürohauses mit 12 Stockwerken und dem Erdgeschoss.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigt jede Person in einem anderen Stockwerk aus, wenn die "Ausstiegswahrscheinlichkeit" für jedes Stockwerk identisch ist? |
Unser Laehrer hat uns folgende Lösung gegeben:
P(e)= Anzahl günstiger Ereignisse / Anzahl möglicher Ereignisse
Anzahl günstiger Ereignisse:
Reihenfolge: wichtig
Wiederholung: ja
n=12
k=8
Daraus folgt [mm] n^{k} [/mm] => [mm] 12^{8} [/mm]
Anzahl möglicher Ereignisse:
Reihenfolge: wichtig
Wiederholung: nein
n=12
k=8
Daraus folgt n!/(n-k)! => 12!/(12-8)!
Jetzt die Frage:
Warum ist denn die Reihenfolge wichtig. Der Lehrer geht ja davon aus, dass sich die Personen unterscheiden.
Aber wie kommt er drauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 26.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich wüsste nicht, wieso man davon ausgehen sollte. Vielleicht hat er es gemacht, weil es leichter zu berechnen ist, ich weiß es nicht. Aber wenn ich Lehrer wäre, würde ich beide Varianten akzeptieren.
Allerdings müsstest du die die günstigen Fälle und die Fälle insgesamt vertauschen!
Günstig: [mm] \bruch{12!}{(12-8)!}
[/mm]
Alle: [mm] 12^8
[/mm]
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 So 26.10.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
die Unterscheidbarkeit spielt hier de facto keine Rolle.
Bedenke aber, daß die Division nach Laplace: günstige Mögl. / Gesamtanzahl nur erlaubt ist, wenn die gezählten Möglichkeiten alle gleich wahrscheinlich sind. Und das kann hier nur erreicht werden, indem man sich vorstellt, daß die Personen unterscheidbar sind:
Würde man das nicht tun, dann würden zum Beispiel die beiden Fälle
1. Alle steigen im 1. Stockwerk aus
und
2. Je eine Person steigt in den ersten 8 Stockwerken aus
als jeweils eine Möglichkeit gezählt werden. Aber die zweite ist erheblich wahrscheinlicher als die erste.
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 So 26.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Ergibt natürlich Sinn!
Teufel
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