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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Sa 21.10.2006 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen??
Seien $A,B [mm] \in \varepsilon$ [/mm] (ich glaube, dass soll eine Sigma-Algebra sein), [mm] $P(A)=\bruch{3}{4}$ [/mm] und [mm] $P(B)=\bruch{1}{3}$.
[/mm]
Zeige: [mm] $\bruch{1}{12} \le P(A\cap [/mm] B) [mm] \le \bruch{1}{3}$ [/mm] und finde Beispiele, wo Gleichheit gilt. Analoge Schranken für [mm] $A\cup [/mm] B$.
Also mir sind diese Wahrscheinlichkeiten irgendwie etwas unklar und mir fällt auch irgendwie kein anschauliches Beispiel zu dieser Aufgabe ein...
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Hi, Bobby,
> Seien [mm]A,B \in \varepsilon[/mm] (ich glaube, dass soll eine
> Sigma-Algebra sein), [mm]P(A)=\bruch{3}{4}[/mm] und
> [mm]P(B)=\bruch{1}{3}[/mm].
> Zeige: [mm]\bruch{1}{12} \le P(A\cap B) \le \bruch{1}{3}[/mm] und
> finde Beispiele, wo Gleichheit gilt. Analoge Schranken für
> [mm]A\cup B[/mm].
>
> Also mir sind diese Wahrscheinlichkeiten irgendwie etwas
> unklar und mir fällt auch irgendwie kein anschauliches
> Beispiel zu dieser Aufgabe ein...
Also: Bei so einer Aufgabenstellung denkt man zunächst mal an das Urnenmodell.
Und wenn man sich die vorgegebenen Zahlen mal anschaut, dann kommt man auf eine Urne mit 12 Kugeln, durchnummeriert von 1 bis 12. Aus dieser Urne wird eine Kugel gezogen.
Dann kann man z.B. für A ein Ereignis mit 9 Kugeln (P(A) = [mm] \bruch{9}{12} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}) [/mm] nehmen, für B ein Ereignis mit 4 Kugeln.
Nun zu den verlangten "Gleichheiten" in der Ungleichungskette oben:
(1) [mm] P(A\cap [/mm] B) = [mm] \bruch{1}{12}.
[/mm]
Das heißt halt, dass A und B in unserem Fall genau ein gemeinsames Element haben müssen.
Z.B.: A = [mm] \{1; 2; .....; 9 \}
[/mm]
B = [mm] \{9; 10; 11; 12 \}
[/mm]
(2) [mm] P(A\cap [/mm] B) = [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
Das heißt, dass B eine Teilmenge von A sein muss:
Z.B.: A = [mm] \{1; 2; .....; 9 \}
[/mm]
B = [mm] \{1; 2; 3; 4 \}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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