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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:52 Do 30.04.2015 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | | In einem undurchsichtigen Gefäß befinden sich 2 schwarze Kugeln und eine nicht bekannte Anzahl an weißen Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, in 4 aufeinanderfolgenden Ziehungen mit zurücklegen mindestens eine weiße Kugel zu ziehne beträgt [mm] \frac{80}{81}. [/mm] Wie viele Kugeln befinden sich insgesamt in dem Gefäß? |
Hallo Zusammen!
Ich bin der Meinung, dass ich o. g. Aufgabe gelöst habe, allerdings erhält mein Kollege eine andere Lösung, weshalb ich nun fragen wollte, ob jemand die Richtigkeit meiner Rechnung kurz prüfen könnte!
Also:
Die Wahrscheinlichkeit mind. 1 weiße Kugel, bei 4 Versuchen, zu ziehen ist ja die Summe der Wahrscheinlichkeiten genau 1 weiße Kugel, genau 2 weiße Kugeln, genau 3 weiße Kugeln und genau 4 weiße Kugeln zu ziehen.
Das Gegenereigniss ist somit bei den 4 Versuchen keine schwarze Kugel zu ziehen, wobei hierfür die Wahrscheinlichkeit ebenfalls [mm] \frac{80}{81} [/mm] beträgt.
Da es sich bei dem Verusch um eine "Ziehung mit zurücklegen" handelt, habe ich die Binomialverteilung angewendet.
[mm] P_{keine~schwarze~Kugel}=\pmat{ n \\ k } [/mm] * [mm] (\bruch{M}{N})^k [/mm] * [mm] (1-\bruch{M}{N})^{n-k}=\frac{80}{81}
[/mm]
N = Gesamtkugelanzahl (?)
M = Anzahl an schwarzen Kugeln (2)
n = Anzahl der Ziehungen (4 )
k = Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln (0)
[mm] P_{keine~schwarze~Kugel}=\pmat{ 4 \\ 0 } [/mm] * [mm] (\bruch{2}{N})^0 [/mm] * [mm] (1-\bruch{2}{N})^{4-0}=\frac{80}{81}
[/mm]
1 * 1 * [mm] (1-\bruch{2}{N})^{4}=\frac{80}{81}
[/mm]
N = 645 Kugeln gesamt, davon 2 schwarze Kugeln und 643 weiße Kugeln.
Vielen Dank für eure Hilfestellungen!
Lg Mike
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Do 30.04.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> In einem undurchsichtigen Gefäß befinden sich 2 schwarze
> Kugeln und eine nicht bekannte Anzahl an weißen Kugeln.
> Die Wahrscheinlichkeit, in 4 aufeinanderfolgenden Ziehungen
> mit zurücklegen mindestens eine weiße Kugel zu ziehne
> beträgt [mm]\frac{80}{81}.[/mm] Wie viele Kugeln befinden sich
> insgesamt in dem Gefäß?
> Hallo Zusammen!
>
> Ich bin der Meinung, dass ich o. g. Aufgabe gelöst habe,
> allerdings erhält mein Kollege eine andere Lösung,
> weshalb ich nun fragen wollte, ob jemand die Richtigkeit
> meiner Rechnung kurz prüfen könnte!
>
> Also:
>
> Die Wahrscheinlichkeit mind. 1 weiße Kugel, bei 4
> Versuchen, zu ziehen ist ja die Summe der
> Wahrscheinlichkeiten genau 1 weiße Kugel, genau 2 weiße
> Kugeln, genau 3 weiße Kugeln und genau 4 weiße Kugeln zu
> ziehen.
>
> Das Gegenereigniss ist somit bei den 4 Versuchen keine
> schwarze Kugel zu ziehen, wobei hierfür die
> Wahrscheinlichkeit ebenfalls [mm]\frac{80}{81}[/mm] beträgt.
>
> Da es sich bei dem Verusch um eine "Ziehung mit
> zurücklegen" handelt, habe ich die Binomialverteilung
> angewendet.
>
> [mm]P_{keine~schwarze~Kugel}=\pmat{ n \\ k }[/mm] * [mm](\bruch{M}{N})^k[/mm]
> * [mm](1-\bruch{M}{N})^{n-k}=\frac{80}{81}[/mm]
>
> N = Gesamtkugelanzahl (?)
> M = Anzahl an schwarzen Kugeln (2)
> n = Anzahl der Ziehungen (4 )
> k = Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln (0)
>
> [mm]P_{keine~schwarze~Kugel}=\pmat{ 4 \\ 0 }[/mm] * [mm](\bruch{2}{N})^0[/mm]
> * [mm](1-\bruch{2}{N})^{4-0}=\frac{80}{81}[/mm]
>
> 1 * 1 * [mm](1-\bruch{2}{N})^{4}=\frac{80}{81}[/mm]
Die Überlegungen bis hierher sind korrekt.
>
> N = 645 Kugeln gesamt, davon 2 schwarze Kugeln und 643
> weiße Kugeln.
Auch das sieht gut aus, du hast die obige Gleichung korrekt nach N umgeformt.
>
> Vielen Dank für eure Hilfestellungen!
>
> Lg Mike
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Do 30.04.2015 | | Autor: | mike1988 |
Wunderbar!
Danke für deine rasche Kontrolle!
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Do 30.04.2015 | | Autor: | fred97 |
Du hast die Aufgabe richtig gelöst. Aber einen großen Aufwand betrieben !
Es geht ganz elementar:
Sei $N$ wie bei Dir.
Die Wahrscheinlichkeit bei einer Ziehung eine schwarze Kugel zu ziehen ist
$ [mm] =\bruch{2}{N}.$
[/mm]
Also ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Ziehung eine weiße Kugel zu ziehen
$=1- [mm] \bruch{2}{N}.$
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit bei 4 Ziehungen mit Zurücklegen eine weiße Kugel zu ziehen ist demnach
$=(1- [mm] \bruch{2}{N})^4.$
[/mm]
Fazit:
[mm] $\bruch{80}{81}=(1- \bruch{2}{N})^4.$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Sa 02.05.2015 | | Autor: | mike1988 |
Hallo!
Vielen Dank, so ist es natürlich noch deutlich einfacher.....
lg
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