Wahr oder falsch? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [math]f[/math] differenzierbar auf [math][a,b][/math]. Sei weiter [math]|f(x)|+|f'(x)|\neq 0[/math]. Zeige, dass [math]f[/math] nur endlich viele Nullstellen haben kann. |
Also es gibt folgende Lösung [mm] dazu:\\
[/mm]
Da [math][a,b][/math] kompakt ist, gibt es mindestens einen Häufungpunkt. Sei [math](x_{n})_{n\in \mathbb{N]}[/math] eine folge mit [math]f(x_{n})=0[/math]. Weiter ist deswegen [math]\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_{n})=0[/math] und wegen der Stetigkeit [math]\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_{n})=f(\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n})[/math]. Für die Ableitung an der Stelle folgt mit [math]p=\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}[/math] [math]f'(p)=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {f(x_{n})-f(p)} {x_{n}-p}=\frac {0-0} {x_{n}-p}=0[/math] und somit Widerspruch zur [mm] Voraussetzung.\\
[/mm]
Folgendes: Die Folgerung dass die Ableitung stimmt glaub ich nicht. Denn man kann nicht anhand irgendeiner Folge Schlussfolgerungen auf die Ableitung machen. Da [math]x_{n}\rightarrow p[/math] ist, folgt [math]\forall \epsilon>0 \exists N\in \mathbb{N}\forall n\geq N:x_{n}\in U_{\epsilon}(p)[/math]. Offensichtlich ist [math]U_{\epsilon}(p)[/math] überabzählbar folgt [math]\forall \epsilon>0 \exists z\in [a,b]:z\in U_{\epsilon}(p)\wedge f(p)\neq 0[/math]. Also kann man eine Folge wählen [math](y_{n})_{n\in \mathbb{N}}\subset [a,b][/math], mit [math]y_{n}\rightarrow p[/math] für [math]n\rightarrow \infty[/math] und [math]\forall n\in \mathbb{N}:f(y_{n})\neq 0[/math].
Man kann nun nicht schlussfolgern, dass [math]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {f(x_{n})-f(p)} {x_{n}-p}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {f(y_{n})-f(p)} {y_{n}-p}=0[/math] ist und damit fehlt die Eindeutigkeit, als Teil des Beweises.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Di 27.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Denn man kann nicht anhand irgendeiner Folge
> Schlussfolgerungen auf die Ableitung machen.
Doch. Man kann nicht auf die Existenz schließen - die ist aber gesichert. Er wird nur noch berechnet.
> [math]\forall \epsilon>0 \exists z\in [a,b]:z\in U_{\epsilon}(p)\wedge f(p)\neq 0[/math].
Warum? Hier fehlt jedwedes Argument, warum es gelten sollte. Aber nehmen wir mal, es stimmte ...
> Also kann man eine Folge wählen [math](y_{n})_{n\in \mathbb{N}}\subset [a,b][/math],
> mit [math]y_{n}\rightarrow p[/math] für [math]n\rightarrow \infty[/math] und [math]\forall n\in \mathbb{N}:f(y_{n})\neq 0[/math].
> Man kann nun nicht schlussfolgern, dass [math]\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {f(x_{n})-f(p)} {x_{n}-p}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {f(y_{n})-f(p)} {y_{n}-p}=0[/math]
Aus der Existenz der Ableitung ergibt sich die Gleichheit der GW. Das in einem Fall die [m]f(y_n)>0[/m] ist, ist auch kein Widerspruch - vergleiche mit der Ableitung der Identität in Null!
> ist und damit fehlt die Eindeutigkeit, als Teil des
> Beweises.
Wo braucht man Eindeutigkeit?
SEcki
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