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| Aufgabe | In zwei Wochen ist die Wahl zur Bremischen Bürgerschaft. Es treten 10 Parteien mit insgesamt 303 Kandidaten an.
Der Wähler kann insgesamt 5 Kreuze auf seinem Stimmzettel machen.
a) Auf wie viele verschiedene Arten kann man den Stimmzettel ankreuzen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der etwa 300.000 Wähler genau identisch wählen? |
a) Davon ausgehend, dass jeder Wähler genau 5 Kreuze macht, sind das
(303 + [mm] 10)^{5} \approx [/mm] 3 * [mm] 10^{12}
[/mm]
Das sind etwa 3 Billionen Möglichkeiten.
b) Auf den ersten Blick betrachtet, würde ich sagen:
Dreihunderttausend geteilt durch drei Billionen. Das sind etwa 1: 10.000.000
Aber so einfach geht das wohl nicht: Man muss ja Jeden mit Jedem zueinander in Beziehung setzen. Das ist so ein ähnliches Problem, wie das, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass in einem Raum von zehn Personen zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Da darf man auch nicht einfach 10 durch 365 teilen.
Davon aber mal abgesehen: Da die Wähler ihre Stimmen ja nicht nach dem Zufallsprinzip abgeben - hoffe ich jedenfalls -, wird es sicherlich Dutzende oder gar Hunderte Wähler geben, die ihre Stimmen exakt in derselben Weise abgeben (z.B. Jens Böhrnsen bekommt alle 5 Stimmen).
Also macht eine mathematische Wahrscheinlichkeits-Berechnung überhaupt keinen Sinn.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 So 26.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
Die Frage ist viel zu ungenau und mehrdeutig formuliert, als dass man hier anfangen könnte zu rechnen.
Wie sieht denn so ein Stimmzettel aus und welche Regeln gelten für das Setzen der 5 Kreuzchen?
Stehen da die 10 Parteien UND die 303 Kandidaten gleichberechtigt untereinander und kann man seine Kreuzchen beliebig setzen? Hat man also (so wie dein Lösungsversuch das irgendwie vermuten lässt) 313 Plätze, auf die man beliebig seine fünf Kreuze machen kann? Kann man auch vier Parteien und einen Kandidaten ankreuzen? Käme mir etwas eigenartig vor.
Also da ist eine massive Nachbearbeitung der Aufgabenstellung angebracht - ich gehe davon aus, dass du dir die selbst ausgedacht hast, richtig? Ansonsten bitte die vollständige Originalformulierung und nicht die Interpretation posten.
Auch bei Aufgabe b) ist nicht ganz klar, ob "genau zwei" oder "mindestens zwei" gemeint ist. "Höchstens zwei" kann man vermutlich ausschließen, wenn man die Formulierung umgangssprachlich interpretiert.
Gruß RMix
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> Wie sieht denn so ein Stimmzettel aus und welche Regeln
> gelten für das Setzen der 5 Kreuzchen?
> Stehen da die 10 Parteien UND die 303 Kandidaten
> gleichberechtigt untereinander und kann man seine Kreuzchen
> beliebig setzen?
Man darf bis zu fünf Kreuze machen. Wer weniger macht, verschenkt Stimmen. Bei mehr als fünf Kreuzen ist der Stimmzettel ungültig.
Man darf seine Stimmen nach Belieben verteilen. Man kann die Liste einer Partei ankreuzen oder einen namentlich genannten Kandidaten.
Beispiel: 3 Kreuze für die Liste der SPD, ein Kreuz für Herrn Meier von der CDU und ein Kreuz für Frau Müller von den Grünen. Das ist möglich.
Da das Ergbnis zu Aufgabe a) ohnehin recht groß ist, habe ich nicht extra berücksichtigt, dass ein Wähler nur 4, 3, 2 oder 1 Kreuz macht. Würde das einen nennenswerten Unterschied machen?
Bei b) denke ich an "mindestens zwei" gleich ausgefüllte Stimmzettel. Also, wenn 300.000 "blinde Affen", die bis fünf zählen können, die Stimmzettel ausfüllen würden, wäre es dann wahrscheinlich, dass "mindestens zwei Affen" gleich wählen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 So 26.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
> > Wie sieht denn so ein Stimmzettel aus und welche Regeln
> > gelten für das Setzen der 5 Kreuzchen?
> > Stehen da die 10 Parteien UND die 303 Kandidaten
> > gleichberechtigt untereinander und kann man seine Kreuzchen
> > beliebig setzen?
>
> Man darf bis zu fünf Kreuze machen. Wer weniger macht,
> verschenkt Stimmen. Bei mehr als fünf Kreuzen ist der
> Stimmzettel ungültig.
>
> Man darf seine Stimmen nach Belieben verteilen. Man kann
> die Liste einer Partei ankreuzen oder einen namentlich
> genannten Kandidaten.
>
> Beispiel: 3 Kreuze für die Liste der SPD, ein Kreuz für
> Herrn Meier von der CDU und ein Kreuz für Frau Müller von
> den Grünen. Das ist möglich.
>
>
> Da das Ergbnis zu Aufgabe a) ohnehin recht groß ist, habe
> ich nicht extra berücksichtigt, dass ein Wähler nur 4, 3,
> 2 oder 1 Kreuz macht. Würde das einen nennenswerten
> Unterschied machen?
Kommt darauf an, wofür du dein Ergebnis benötigst und was du unter "nennenswert" verstehst.
Der absolute Unterschied deines Ergebnisses ($3004150512793$ zu dem Wert, der sich ergibt, wenn man auch die Stimmzettel mit weniger als 5 Kreuzen berücksichtigt ($3013779200334$), ist immerhin fast [mm] $10^{10}$ [/mm] (genau: $9628687541$).
Relativ gesehen hast du aber nur um $0,318\ [mm] \%$ [/mm] weniger Möglichkeiten berücksichtigt.
Du berechnest den "genauen" Wert mit
[mm] $N:=\sum_{k=0}^5 313^k=\frac{313^6-1}{312}=3013779200334$
[/mm]
>
>
> Bei b) denke ich an "mindestens zwei" gleich ausgefüllte
> Stimmzettel. Also, wenn 300.000 "blinde Affen", die bis
> fünf zählen können, die Stimmzettel ausfüllen würden,
> wäre es dann wahrscheinlich, dass "mindestens zwei Affen"
> gleich wählen?
>
Dann ist es die gleiche Aufgabe, wie beim von dir im Eingangspost erwähnten Geburtstagsproblem und kann auch auf die gleiche Art mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit berechnet werden:
[mm] $p:=1-\sum_{k=0}^{299999}\frac{N-k}{N}\approx1,482\ \%$.
[/mm]
Mit deinem kleineren Wert von N (genau 5 Kreuze) stellt sich natürlich eine geringfügig größere Wahrscheinlichkeit ein, nämlich [mm] $\approx1,487\ \%$.
[/mm]
Bei dieser Rechnung hab ich die Möglichkeit, einen ungültigen STimmzettel ohne einem einzigen Kreuz drauf mitgerechnet. Falls das nicht erwünscht ist, musst du N um 1 verringern - das wird dann allerdings wirklich keinen sichtbaren Effekt mehr bewirken.
Wie bringst du deine Affen eigentlich dazu, genau fünf Kreuze zu machen oder wenigstens nicht mehr als fünf?
Du kannst die Aufgabe noch ausbauen indem du auch andere Varianten von ungültig ausgefüllten Stimmzetteln (mehr als 5 Kreuze) bis hin zu $5*313=1565$ Kreuzen berücksichtigst. Oder werden da nur die ersten fünf gewertet (so wie etwa beim Lotto?
Na, jedenfalls würde so die Anzahl der Möglichkeiten, einen Stimmzettel auszufüllen, in den Bereich [mm] $3,4*10^{3905}$ [/mm] explodieren!
Die Wahrscheinlichkeit für mind. zwei gleiche Stimmzettel lässt sich schon beim Geburtstagsproblem schwer ohne Unterstützung durch einen Rechner, der Summen berechnen kann oder sich dazu programmieren lässt, dieses zu tun, bewerkstelligen.
Hier natürlich erst recht.
Welchen praktischen Wert diese Berechnungen abgesehen von einer Fingerübung überhaupt haben bleibt natürlich dahin gestellt.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 So 26.04.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Welchen praktischen Wert diese Berechnungen abgesehen von
> einer Fingerübung überhaupt haben bleibt natürlich dahin gestellt.
Danke erstmal für die Berechnungen.
Interessant finde ich das Ergebnis von Aufgabe b) mit etwa 1,5%.
Das würde ja bedeuten, dass es rein mathematisch ziemlich unwahrscheinlich wäre, dass auch nur zwei Wähler ihren Wahlzettel in genau gleicher Weise ankreuzen.
In der Praxis dagegen werden aber wohl sehr sehr sehr viele Wähler exakt dasselbe wählen. Wie viele Stimmzettel genau gleich aussehen, und was diejenigen dabei gewählt haben, werden wir wohl nie erfahren.
Ich schätze mal: Die SPD-Liste mit 5 Kreuzen wird nicht von 2, nicht von 20, auch nicht von 200, sondern von noch wesentlich mehr Wählern angekreuzt. Ob das dann allerdings darin begründet ist, dass das (zufällig?) die ersten fünf der 1565 Kreise auf dem Stimmzettel sind, oder daran, dass Bremen eine SPD-Hochburg ist, und die meisten Wähler der Einfachheit halber die Liste ankreuzen ... tja, wer weiß das schon?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Mo 27.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
> ... tja, wer weiß das schon?
Nun, Wahlprogrnosen, Wählerstromanalysen udgl ist eben doch ein bisschen mehr als nur die klassische Schul-Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es gilt dabei, wesentlich mehr Parameter und bereits erhobene Daten in die Analyse miteinzubeziehen.
Und wenn sich am Wahltag zeigt, dass die Kreuzchen nicht nach reinem Zufall verteilt wurden, dann kann das entweder ein Zeichen für gelungene Manipulation und Gehirnwäsche sein, oder aber für gelungen gelebte Demokratie im positivsten Sinne.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Möglichkeiten 
Gruß R
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Mo 27.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> In zwei Wochen ist die Wahl zur Bremischen Bürgerschaft.
> Es treten 10 Parteien mit insgesamt 303 Kandidaten an.
> Der Wähler kann insgesamt 5 Kreuze auf seinem Stimmzettel
> machen.
>
> a) Auf wie viele verschiedene Arten kann man den
> Stimmzettel ankreuzen?
>
> b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der etwa
> 300.000 Wähler genau identisch wählen?
>
>
> a) Davon ausgehend, dass jeder Wähler genau 5 Kreuze
> macht, sind das
>
> (303 + [mm]10)^{5} \approx[/mm] 3 * [mm]10^{12}[/mm]
Edit: da stand Unsinn von mir.
FRED
>
> Das sind etwa 3 Billionen Möglichkeiten.
>
>
> b) Auf den ersten Blick betrachtet, würde ich sagen:
>
> Dreihunderttausend geteilt durch drei Billionen. Das sind
> etwa 1: 10.000.000
>
> Aber so einfach geht das wohl nicht: Man muss ja Jeden mit
> Jedem zueinander in Beziehung setzen. Das ist so ein
> ähnliches Problem, wie das, wie groß die
> Wahrscheinlichkeit ist, dass in einem Raum von zehn
> Personen zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Da darf man
> auch nicht einfach 10 durch 365 teilen.
>
>
> Davon aber mal abgesehen: Da die Wähler ihre Stimmen ja
> nicht nach dem Zufallsprinzip abgeben - hoffe ich
> jedenfalls -, wird es sicherlich Dutzende oder gar Hunderte
> Wähler geben, die ihre Stimmen exakt in derselben Weise
> abgeben (z.B. Jens Böhrnsen bekommt alle 5 Stimmen).
>
> Also macht eine mathematische
> Wahrscheinlichkeits-Berechnung überhaupt keinen Sinn.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Mo 27.04.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> ?????
>
> [mm]0< \bruch{(303+10)^5}{3*10^{12}}< \bruch{1}{30720}[/mm]
>
?????
Was willst du damit sagen?
Meines Erachtens stimmt das auch nicht.
Nach dem, was mein Taschenrechner ausgibt, sind [mm] 313^{5} [/mm] = [mm] 3.0041505*10^{12}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:06 Di 28.04.2015 | | Autor: | fred97 |
>
> > ?????
> >
> > [mm]0< \bruch{(303+10)^5}{3*10^{12}}< \bruch{1}{30720}[/mm]
> >
>
>
> ?????
>
> Was willst du damit sagen?
Nichts mehr. Pardon, war etwas neben der Spur. Nichts für ungut.
Gruß FRED
>
> Meines Erachtens stimmt das auch nicht.
>
> Nach dem, was mein Taschenrechner ausgibt, sind [mm]313^{5}[/mm] =
> [mm]3.0041505*10^{12}[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Mo 11.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
Die meisten Mathe-Aufgaben sind ja immer etwas abstrakt, oftmals wenig realitätsbezogen.
Aber wer sich für Mathematik, Politik und Statistiken interessiert, der findet im Zusammenhang mit der obigen Aufgabe eine Reihe interessanter Informationen und Daten hier über die ![[]](/images/popup.gif) Bremen-Wahl.
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| Aufgabe | Nach aktuellem Stand (aufgrund des komplizierten Bremer Wahlsystems wird noch bis Mittwoch ausgezählt) haben 70.163 Wähler 335.296 gültige Stimmen abgegeben.
Wie bereits in der Ursprungsaufgabe stand, kann jeder Wähler 5 Kreuze auf seinen Stimmzettel machen.
Frage:
Wie viele Wähler
a) mindestens
b) höchstens
können nicht bis fünf zählen und wie viel Prozent sind das? |
Wenn ein Wähler gar kein Kreuz macht oder mehr als fünf Kreuze, dann zählt das als Enthaltung bzw. ungültig (in beiden Fällen null gültige Stimmen).
Wenn ein Wähler 1, 2, 3, 4 oder 5 Kreuze macht, dann sind das so viele gültige Stimmen.
Könnten alle 70.163 Wähler bis fünf zählen, dann hätte es 350.815 gültige Stimmen gegeben.
Die Differenz zu den tatsächlichen 335.296 gültigen Stimmen beträgt 15.519.
Das wäre m.E. die Höchstzahl derjenigen, die nicht richtig zählen kann, also 22.1%. Demnach können mindestens 77,9% der Wähler bis fünf zählen.
Wären dagegen die 335.296 gültigen Stimmen nur von Wählern abgegeben worden, die alle bis fünf zählen können, so wären das 67.059 Leute gewesen (und einer hätte 1 Kreuz gemacht).
In diesem Fall hätte es 3.104 Enthaltungen bzw. ungültige Stimmen gegeben.
Also können mindestens 4.4% der Wähler nicht bis fünf zählen.
Ist das so richtig gedacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mi 13.05.2015 | | Autor: | rabilein1 |
Die asymptotische Annäherung an das Endergebnis schreitet voran. Heute Morgen um 9:11 Uhr waren 352 von 458 Wahlbezirken ausgezählt:
Demnach hatten 145.240 Wähler 695.365 gültige Stimmen abgegeben. Wer will, kann die Aufgabe ja mit den neueren Zahlen rechnen und sehen, ob sich die Prozentzahlen geändert haben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mi 20.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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