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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Di 23.02.2010 | | Autor: | LiliMa |
| Aufgabe | In einer Flasche werden zu Beginn 500 Hefezellen einbebracht. Unter günstigen Bedingungen nimmt die Anzahl der Hefezellen pro Stunde um 80% zu.
a) Erstellen Sie den Funktionsterm für die Anzahl f(t) Hefezellen zum Zeitpunkt t.
b) Ermitteln Sie die Wachstumsgeschwindigkeit und vergleichen Sie diese mit der Anzahl vorhandener Hefezellen. |
Hi und guten Abend,
bei a) hatte ich eigentlich keine Probleme und bin auf [mm] f(t)=500*e^{0,405t} [/mm] gekommen.
Bei b) weis ich nicht sicher, wie man die Wachstumsgeschwindigkeit berechnet.
Ich dachte, dass man dafür die erste Ableitung braucht. Aber dann habe ich ja ne Funktion und keine wirkliche Geschwindigkeit.
Kann mir das bitte jemand erklären.
Viele Grüsse und schonmal Danke
Lilli
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> In einer Flasche werden zu Beginn 500 Hefezellen
> einbebracht. Unter günstigen Bedingungen nimmt die Anzahl
> der Hefezellen pro Stunde um 80% zu.
>
> a) Erstellen Sie den Funktionsterm für die Anzahl f(t)
> Hefezellen zum Zeitpunkt t.
> b) Ermitteln Sie die Wachstumsgeschwindigkeit und
> vergleichen Sie diese mit der Anzahl vorhandener
> Hefezellen.
> Hi und guten Abend,
>
> bei a) hatte ich eigentlich keine Probleme und bin auf
> [mm]f(t)=500*e^{0,405t}[/mm] gekommen.
oben schreibst du von einer 80% zunahme ,berechnet hast du jedoch 50%.
>
> Bei b) weis ich nicht sicher, wie man die
> Wachstumsgeschwindigkeit berechnet.
> Ich dachte, dass man dafür die erste Ableitung braucht.
> Aber dann habe ich ja ne Funktion und keine wirkliche
> Geschwindigkeit.
denke mal du sollst f'(t) dann mit f'(t) vergleichen, weil ja nichts genaues in der aufgabe steht
>
> Kann mir das bitte jemand erklären.
>
> Viele Grüsse und schonmal Danke
> Lilli
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 23.02.2010 | | Autor: | LiliMa |
danke schonmal tee.
Aber berechnet man nun die Wachstumsgeschwindigkeit indem man die Ableitung bildet? Und wie Vergleicht man zwei Funktionsgleichungen? Soll ich da einfach den Quotienten bilden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Di 23.02.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht der Ableitung deiner Funktion. Denn die Ableitung ist ja nichts anderes als [mm] $f'(t)=\frac{\Delta f}{\Delta t}$ [/mm] mit [mm] $\Delta [/mm] t [mm] \rightarrow [/mm] 0$, d.h. sowas wie Aenderung der Anzahl der Teilchen pro Aenderung der Zeit, also etwas pro Zeit, was ja dann einer Geschwindigkeit entspricht, aehnlich wie mit der "gewoehnlichen" Geschwindigkeit beim Autofahren, da ist ja auch [mm] $v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$ [/mm] die mittlere Geschwindigkeit, wobei $s$ die Strecke ist. Die momentane Geschwindigkeit ist dann, wenn man die Strecke als Funktion der Zeit $s(t)$ kennt $v(t)=s'(t)$.
Also ist dann die Ableitung von $f$ nach der Zeit $t$ deine Wachstumsgeschwindigkeit. Jetzt kannst du dann $f'(t)$ mit $f(t)$ vergleichen, indem du zB den Quotienten berechnest, und damit dann angeben kannst, wie stark die Anzahl der Teilchen im Vergleich zu der Teilchenanzahl waechst. Das geht so schoen, weil $f(t)$ eine Exponential-Funktion ist.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Di 23.02.2010 | | Autor: | LiliMa |
Vielen Dank.
Das heisst, dass immer wenn nach der Wachstumsgeschwindigkeit gefragt wird, ohne dass ein spezieller Zeitpunkt angegeben wird, dann muss ich immer nur die Ableitungsfunktion angeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Di 23.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank.
>
> Das heisst, dass immer wenn nach der
> Wachstumsgeschwindigkeit gefragt wird, ohne dass ein
> spezieller Zeitpunkt angegeben wird, dann muss ich immer
> nur die Ableitungsfunktion angeben?
Hallo,
du kannst ja gar keinen konkreten Zahlenwert angeben.
Wenn 100 Bakterien vorhanden sind, wächst die Bakterienzahl (durchschnitlich) um 80 Bakterien pro Stunde.
Etwas später, wenn 1000 Bakterien vorhanden sind, wächst die Bakterienzahl (durchschnitlich) um 800 Bakterien pro Stunde.
(und die Geschwindigkeit steigt ja sogar innerhalb einer Stunde permanent).
Du kannst also keine konkrete Wachstumsgeschwindigkeit angeben, sondern nur eine, die vom jeweils vorhandenen Bestand und damit vom jeweiligen Zeitpunkt abhängt.
Wachstumsgeschwindigkeit = Bestandsänderung pro (winzig kleiner) Zeiteinheit = 1. Ableitung des Bestands.
Gruß Abakus
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