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| Aufgabe 1 | | [mm] \bruch{100\left( x-2 \right)^3\left( x+4 \right)^2}{\left( x-5 \right)^4\left( x+6 \right)} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \bruch{-8\left( x-1 \right)^3\left( x+3 \right)^2}{\left( x+2\right)^4\left( x-2 \right)} [/mm] |
meine Lehrerin hat diese Aufgabe mit uns in der Schule gelöst:
Es hieß dann letztlich, dass die Funktion neben ihren senkrechten Asymptoten {-6;5} noch bei 100 eine waagrechte Asymptote hat. Jetzt habe ich allerdings den Funktionsplotter herangezogen, und dieser zeigt wiederum keine Annäherung an y=100. Kann diese Funktion überhaupt bei 100 eine Asymptote haben??
Ich frage deshalb, weil wir nach dieser Art von Funktion heute einen Test geschrieben haben, und ich die Aufgabe vom Prinzip her so aufgelöst habe wie Aufgabe 1. Also habe ich -8 als waagrechte Asymptote genommen, da ja im Zähler und Nenner [mm] x^5 [/mm] dann sich kürzen lässt zu 1. also y=-8. Aber auch diese Funktion habe ich im Plotter einzeichnen lassen, und da gibt es keine waagrechte Asymptote ala -8 (Im Prinzip ging ich also so vor wie meine Lehrerin, in der Annahme,dass es ja richtig sei...)
Hat meine Lehrerin mich falsch unterrichtet?!
Gibt es eine waagrechte Asymptopte?
Wogegen geht x gegen +/-unendlich nun, wenn es nicht gegen 100 in Aufgabe 1 bzw. gegen -8 bei Aufgabe 2 geht????
(Die senkrechten Asymptoten sind mir klar, Definitionsbereich einfach anschauen, etc.)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo hacerlein und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> [mm]\bruch{100\left( x-2 \right)^3\left( x+4 \right)^2}{\left( x-5 \right)^4\left( x+6 \right)}[/mm]
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> [mm]\bruch{-8\left( x-1 \right)^3\left( x+3 \right)^2}{\left( x+2\right)^4\left( x-2 \right)}[/mm]
>
> meine Lehrerin hat diese Aufgabe mit uns in der Schule
> gelöst:
> Es hieß dann letztlich, dass die Funktion neben ihren
> senkrechten Asymptoten {-6;5} noch bei 100 eine waagrechte
> Asymptote hat. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Jetzt habe ich allerdings den
> Funktionsplotter herangezogen, und dieser zeigt wiederum
> keine Annäherung an y=100. Kann diese Funktion überhaupt
> bei 100 eine Asymptote haben??
Klar, das liegt aber alles außerhalb des angezeigten Bereiches ...
> Ich frage deshalb, weil wir nach dieser Art von Funktion
> heute einen Test geschrieben haben, und ich die Aufgabe vom
> Prinzip her so aufgelöst habe wie Aufgabe 1. Also habe ich
> -8 als waagrechte Asymptote genommen, da ja im Zähler und
> Nenner [mm]x^5[/mm] dann sich kürzen lässt zu 1. also y=-8.
Genauso funktioniert es bei diesen Aufgaben!
Es ist für 1)
[mm]\frac{100\cdot{}(x-2)^3(x+4)^2}{(x-5)^4(x+6)}=100\cdot{}\frac{x^3(1-2/x)^3\cdot{}x^2(1+4/x)^2}{x^4(1-5/x)^4\cdot{}x(1+6/x)}[/mm]
Jeweils in den Klammern x ausgeklammert und dann gem. Potenzgesetzen rausgezogen.
Nun steht in Zähler und Nenner jeweils [mm]x^5[/mm], das kürzt sich schön raus:
Bleibt: [mm]100\cdot{}\frac{(1-2/x)^3\cdot{}(1+4/x)^2}{(1-5/x)^4\cdot{}(1+6/x)}[/mm]
Die Klammerterme streben nun allesamt für [mm]x\to\pm\infty[/mm] gegen 1, die Funktion insgesamt, also $f(x)$ damit gegen [mm] $100\cdot{}1=100$.
[/mm]
Allerdings "ziemlich weit draußen" 
Sprich: sehr weit links und rechts im Koordinatensystem.
Lass es dir hier
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter.htm
mal zeichnen und ziehe mit dem Mauszeiger die y-Achse auf ca. 100 und dann schiebe dich nach weit rechts raus, so bei $x=450$ erkennst du eine Tendenz ...
> Aber
> auch diese Funktion habe ich im Plotter einzeichnen lassen,
> und da gibt es keine waagrechte Asymptote ala -8 (Im
> Prinzip ging ich also so vor wie meine Lehrerin, in der
> Annahme,dass es ja richtig sei...)
> Hat meine Lehrerin mich falsch unterrichtet?!
Nein!
> Gibt es eine waagrechte Asymptopte?
Ja!
Du hast es richtig gemacht!
> Wogegen geht x gegen +/-unendlich nun, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Du meinst, "wogegen geht f(x), wenn [mm]x\to\pm\infty[/mm] "
> wenn es nicht gegen
> 100 in Aufgabe 1 bzw. gegen -8 bei Aufgabe 2 geht????
Es ist, wie die Lehrerin gesagt hat, vllt. überzeugen dich ja meine Rechenschritte oben
>
> (Die senkrechten Asymptoten sind mir klar,
> Definitionsbereich einfach anschauen, etc.)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
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vielen Dank für die schnelle Antwort!
Also ist es doch richtig o.O
Im Test habe ich es wieder weggestrichen, weil ich dann gesehen habe, dass man irgendwie den Graphen dann gar nicht zeichnen kann. Also nahm ich an, dass es falsch ist... Müsste man bei einer Skizze die waagrechte Asymptote also schon kennzeichnen...
Den Schritt mit dem Ausklammern hab ich gar nicht gemacht, sondern geschaut, was überwiegt (nach der Lehrerin).
Die -8 als waagrechte Asymptote wäre also wie die 100 nur leicht angedeutet, weil man das so gar nicht richtig sehen würde ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Fr 07.10.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo hacerlein,
das ist natürlich eine Frage der Skalierung Deiner Skizze. Wenn man, wie gewohnt, mit kleinen Werten sich mal ranarbeitet, so liegt natürlich dieser Wert schon recht weit draußen. Die Methode mit der Ausklammerung gibt Dir einen guten Überblick und natürlich kannst Du auch einfach bei solch einem Bruch nach den höchsten Potenzen im Zähler und im Nenner gucken, und danach schon mal abschätzen, ob für große x-Werte der Ausdruck gegen 0 oder Unendlich läuft (Minus Unendlich geht natürlich auch).
Viele Grüße,
Infinit
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